Qu'entend-on par «moment spectral»?

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J'ai consulté les tout-puissants oracles de google et wiki, mais je n'arrive pas à trouver de définition pour l'expression "le moment du spectre".

Un texte de travail hérité que je lis l'utilise de la manière suivante, définissant le nombre de passages à zéro par unité de temps comme suit:

N_{0} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{2}}{m_{0}})}^{1 / 2}

$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$

Il continue ensuite à définir le nombre d'extrema par unité de temps comme indiqué par:

N_{e} = \frac{1}{π} {(\frac{m_{4}}{m_{2}})}^{1 / 2}

$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$

où il continue pour dire enfin, "où est le ème moment du spectre." $m_i$ $i$

Quelqu'un a rencontré ça avant? Quel est le "moment" d'un spectre? Je n'en ai jamais entendu parler auparavant dans la littérature DSP.

frequency-spectrum

— Spacey
source

Mentionner Calcul efficace des moments spectraux pour la détermination des statistiques de réponse aléatoire pour les moments spectraux: "Les moments spectraux sont calculés à partir du PSD unilatéral"

— Laurent Duval

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Je pensais que les moments spectraux étaient ce qui s'était passé dans le film Ghostbusters! :-)

— Peter K.

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Supposez des signaux passe-bas partout.

Étant donné que généralement une valeur complexe, en utilisant le spectre de puissance est probablement une meilleure idée, surtout si vous voulez prendre des racines carrées, etc. par la suite. Ainsi, est défini comme Notons en particulier que est la puissance du signal, et $X(f)$ $|X(f)|^2$ $m_k$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} F^{k} | X (F) |^{2} ré F .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{0}

$m_0$

m_{1} = 0

$m_1 = 0$ Maintenant, la largeur de bande Gabor

d'un signal est donnée par

G

$G$

Pour mettre cela dans une perspective légèrement différente,

est une fonction non négative, et la "zone sous la courbe

", à savoir.

, est la puissance du signal. Par conséquent,

est effectivement unefonctiondedensité de probabilitéd'une variable aléatoire à moyenne nulle dont la variance est

g = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} F^{2} | X (F) |^{2} ré F}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (F) |^{2} ré F}} = \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} .

$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

| X (f) |^{2}

$|X(f)|^2$

m_{0}

$m_0$

| X (f) |^{2} / m_{0}

$|X(f)|^2/m_0$

.

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} F^{2} \frac{| X (F) |^{2}}{m_{0}} ré F = \frac{\int_{- \infty}^{\infty} F^{2} | X (F) |^{2} ré F}{\int_{- \infty}^{\infty} | X (F) |^{2} ré F} = g^{2}

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$

Une sinusoïde de fréquence Hz a $G$ $2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$ $\omega$ $G$ $2\pi$

N_{0} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{2}}{m_{0}}} zéro traversée par seconde.

$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$

$x(t)$ $j2\pi f X(f)$ $|2\pi f X(f)|^2$

\begin{aligned} g^{'} & = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} F^{2} | 2 π F X (F) |^{2} ré F}{\int_{- \infty}^{\infty} | 2 π F X (F) |^{2} ré F}} \\ = \sqrt{\frac{\int_{- \infty}^{\infty} F^{4} | X (F) |^{2} ré F}{\int_{- \infty}^{\infty} F^{2} | X (F) |^{2} ré F}} \\ = \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$

N_{e} = \frac{1}{π} \sqrt{\frac{m_{4}}{m_{2}}} extrema par seconde.

$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$

— Dilip Sarwate
source

Excellente réponse Dilip ... mais, "Gabor Bandwidth"? ... Je n'en ai jamais entendu parler auparavant, et je ne peux pas obtenir d'informations sur le Web - d'où avez-vous obtenu sa formule? Et qu'est-ce qu'il est censé mesurer exactement?

— Spacey

Merci pour les liens pdf - bien que je ne pense pas qu'ils fonctionnent. Pourriez-vous s'il vous plaît vérifier?

— Spacey

f

$f$

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (2 π F)^{k} | X (F) |^{2} ré F .

$m_k = \int_{-\infty}^\infty (2\,\pi\,f)^k |X(f)|^2 \mathrm df.$

m_{k}

$m_k$

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Je ne sais pas si j'ai entendu ce terme auparavant, mais j'interpréterais le terme "moment" comme ayant une signification analogue aux concepts physiques de centre de masse et de premier et deuxième moments de zone:

m_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} F^{k} X (F) ré F

$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$

$k$

— Jason R
source

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$L$

une expression impliquant le produit d'une distance et d'une autre quantité physique, et de cette façon, elle explique comment la quantité physique est localisée ou arrangée

$\alpha$ $g$ $D$ $c$

m_{g_{ré}} (α, c) = \int_{ré} (t - c)^{α} g (t) ré t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$

m_{g_{ré}} (α, c) = \int_{ré} [t - c |^{α} g (t) ré t

$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$

x

$x$

X (f)

$X(f)$

g (\cdot) = | X (\cdot) |^{2}

$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$

m_{α} = \int_{F \geq 0} F^{α} \frac{| X (F) |^{2}}{\int_{ν \geq 0} | X (ν) |^{2} ré ν} ré F

$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$

Voir par exemple: Calcul efficace des moments spectraux pour la détermination des statistiques de réponse aléatoire pour les moments spectraux: "Les moments spectraux sont calculés à partir de la PSD unilatérale".

$L$ $m_1/m_2$

— Laurent Duval
source