Filtre adapté optimal sans ISI

Étant donné un filtre utilisé pour façonner le signal numérique, , et étant donné que nous ne voulons pas que la combinaison de filtres provoque une ISI, quel filtre "adapté", maximisera le SNR? $p(x)$ $q(x)$

Des filtres adaptés sont utilisés dans les communications numériques pour maximiser le rapport signal / bruit. Souvent, un filtre en cosinus surélevé est utilisé pour façonner le signal, car il est limité dans l'espace de fréquence et le même filtre peut être appliqué au signal reçu pour améliorer le rapport signal / bruit (SNR) sans provoquer d'inter-symbole -interférence (ISI).

Cependant, si un filtre moins optimal est utilisé pour façonner le signal, l'utilisation du même filtre au niveau du récepteur peut introduire l'ISI. Il n'est pas immédiatement évident quel est le meilleur choix de filtre à l'extrémité de réception.

Ma compréhension est que le SNR est maximisé en maximisant , donc je veux maximiser cela tout en satisfaisant la contrainte que les filtres ne provoquent pas d'ISI ( pour , est un entier, est la largeur du symbole). $\int{p(x)q(x)dx}$ $p(x)*q(x) = 0$ $x=kT$ $k$ $T$

On pourrait probablement le faire en résolvant une équation d'Euler-Lagrange avec quelques multiplicateurs de lagrange pour les contraintes. Existe-t-il un moyen plus simple, ou est-ce que je fais une erreur, ou va dans la mauvaise direction?

matched-filter digital-communications

— gyroidben
source

Supposez-vous une modulation linéaire (par exemple PSK ou PCM simple)?

— Mark Borgerding

Pour le cas de la modulation linéaire sur le canal AWGN avec des symboles équiprobables (un cas très courant), l'approche optimale consiste à vraiment utiliser un filtre adapté à la forme d'onde du symbole, à savoir:

q (x) = p (x)

$q(x) = p(x)$

$E_s$ $-E_s$

L'énergie de bruit à la sortie du filtre pendant l'instant d'échantillonnage ne dépend pas de la forme du domaine temporel de la réponse impulsionnelle du filtre, mais uniquement de l'énergie totale de la réponse impulsionnelle (comme indiqué précédemment, généralement l'unité). Par conséquent, le rapport signal / bruit est maximisé en maximisant la quantité d'énergie du signal dans la sortie du filtre à l'instant d'échantillonnage. En choisissant le filtre récepteur à adapter à la forme du symbole, nous l'avons fait, car la forme d'onde du symbole a une corrélation maximale avec une réponse impulsionnelle du filtre qui a une forme identique. Ainsi, le filtre adapté fournit un SNR maximum, pour le cas du canal AWGN.

Avec cet accès de main levée à l'écart (vous pouvez certainement y arriver avec plus de rigueur mathématique, mais je suis ingénieur et c'est un service gratuit; si vous voulez creuser dans les détails, vérifiez toute théorie de la communication numérique texte), vous pensez peut-être que j'ai oublié que vous avez posé des questions sur le cas non idéal de l'ISI. N'ayez crainte, car j'affirme que si vous connaissez la forme de l'impulsion transmise, le filtre adapté est toujours le choix optimal pour le canal AWGN.

$p(x)$ $q(x)$

Bien sûr, vous ne savez généralement pas avec certitude quels étaient les quelques symboles précédents; si vous l'avez fait, alors vous pourriez être à un SNR suffisamment élevé pour que votre ISI puisse être négligé. Dans le cas le plus intéressant, vous ne pouvez pas faire cette hypothèse. Au lieu de cela, une approche de détection de séquence à probabilité maximale est employée en utilisant l'algorithme de Viterbi. Ce processus est appelé égalisation de Viterbi , car dans ce modèle, vous traitez l'ISI induit par la forme d'impulsion comme un code convolutionnel à valeur douce qui est appliqué à votre forme d'onde de transmission. La durée de l'ISI dans l'égaliseur de Viterbi définit le nombre requis d'états d'algorithme, similaire à la longueur de contrainte dans un code convolutionnel.

Cette approche est souvent utilisée dans les systèmes qui ont la forme d'impulsion non optimale que vous avez notée; un exemple notable est le GSM (qui utilise une forme d'impulsion gaussienne qui s'étend sur plusieurs intervalles de symboles). Une grande référence sur ce sujet a été publiée par Sklar en 2003:

B. Sklar, «Comment j'ai appris à aimer le treillis», IEEE Signal Processing Magazine, pp. 87-102, mai 2003

— Jason R
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OK, permettez-moi d'essayer de paraphraser cela pour m'assurer que je comprends: dans toute situation pratique, il est préférable d'utiliser un filtre adapté, car vous pouvez toujours vous débarrasser de l'ISI avec l'égalisation de Viterbi.

— gyroidben

Oui, je suis d'accord avec votre résumé.

— Jason R

+1 pour une excellente réponse factuelle. J'ai également trouvé votre réponse très technique mais aussi lisible. Si je le pouvais, je ferais aussi un autre +1 pour une excellente écriture. Pour info, je pense que vous devez lire l'article source pour comprendre les mathématiques / théorie de plus bas niveau.

— Trevor Boyd Smith

@JasonR N'est-il pas nécessaire de connaître ariori le nombre de taps dans le canal avant de pouvoir appliquer l'algorithme viterbi?

— Spacey

@Mohammad: Oui, pour appliquer l'algorithme de Viterbi, vous avez besoin d'un modèle pour savoir comment le signal reçu a été corrompu. Dans le cas d'un canal à trajets multiples, il faudrait appliquer une technique d'estimation de canal pour obtenir ces informations. La situation que cette question abordait n'était pas liée aux trajets multiples, mais plutôt aux modulations avec des formes d'impulsions qui s'étendent au-delà d'un intervalle de symbole, induisant ainsi l'ISI. Cette interférence est fixée par la conception du système, elle est donc connue et peut être compensée comme décrit ci-dessus.

— Jason R