Une bonne explication mathématique du phénomène de Gibbs

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J'expliquais à quelqu'un comment fonctionnait la série de Fourier dans le contexte de la construction de signaux qui ne sont pas partout différenciables, par exemple les ondes carrées, les ondes en dents de scie, etc. En fait, au fil de l'histoire, tout le monde ne s'est même pas rendu compte qu'il s'agit d'une propriété mathématique réelle d'une série infinie de signaux périodiques et non d'un hasard informatique, et il s'avère que la plupart des preuves sont assez laborieuses et élaborées.

Après avoir lu plusieurs d'entre eux, j'ai commencé à comprendre pourquoi un tel phénomène pouvait se produire, mais j'ai une formation en analyse réelle et complexe, en topologie, etc. La question est: puis-je expliquer pleinement et prouver rigoureusement le phénomène de Gibbs mathématiquement à quelqu'un qui n'a que les cours de base de calcul de premier cycle dans son arsenal (ou tout autre prérequis général pour un cours de traitement du signal de premier cycle)? Si oui, alors comment?

fourier-series gibbs-phenomenon

— Phonon
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À mon humble avis, l'article de Wikipedia sur le phénomène Gibbs est en fait assez bien écrit. Est-ce ce que vous recherchez ou avez-vous besoin d'autre chose? en.wikipedia.org/wiki/Gibbs_phenomenon

— Hilmar

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J'ai toujours trouvé le phénomène fascinant. L'un des détails les plus surprenants par rapport à une série de Fourier tronquée à une longueur finie est que lorsque vous augmentez le nombre de termes dans la somme, les oscillations de Gibbs sont compressées dans le temps, mais l'ampleur du dépassement est constante. Il y a longtemps, on m'a expliqué pourquoi dans un cours de premier cycle, mais je ne pense pas l'avoir écrit.

— Jason R

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Le livre "Dr.Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills", par P. Nahin, Princeton University Press, mène à et contient une explication du phénomène Gibbs qui pourrait convenir à quelqu'un avec une bonne formation en mathématiques de premier cycle universitaire.

— hotpaw2
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C'est-à-dire: une explication rigoureuse appropriée à ce niveau ne peut pas être plus courte qu'un ou plusieurs chapitres de longueur de livre.

— hotpaw2

Ce livre semble contenir une explication de ce qu'est le phénomène (Wilbraham-) Gibbs, et une discussion intéressante sur l'histoire de sa découverte, mais aucune explication ni dérivation. Peut-être que je l'ai raté, auquel cas peut-être que quelqu'un peut donner une référence de numéro de section et / ou de page?

— Max M

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Vous pouvez toujours dire cela sinet cosavoir une forme courbe, et vous avez besoin d'une quantité infinie de fréquences pour former un bord net à partir de nombreuses formes courbes.

— 0x90
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