Question sur la matrice de covariance de 2 signaux spatiaux

Chaque fois que je pense avoir compris la matrice de covariance, quelqu'un d'autre arrive avec une formulation différente.

Je lis actuellement cet article:

J. Benesty, «Algorithme adaptatif de décomposition de valeurs propres pour la localisation de source acoustique passive» , J. Acoust. Soc. Un m. Volume 107 , numéro 1, pp. 384-391 (2000)

et je suis tombé sur une formulation que je ne comprends pas très bien. Ici, l'auteur construit la matrice de covariance entre deux signaux, $x_1$ et . Ces deux signaux proviennent de capteurs différents.$x_2$

Pour la matrice de covariance d'un signal, je sais que nous pouvons l'obtenir en calculant la matrice de régression, puis en la multipliant par l'hermitien de cette même matrice et en divisant par la longueur du vecteur d'origine. La taille de la matrice de covariance ici peut être arbitraire, avec une taille maximale étant .$N$$N\times N$

Pour la matrice de covariance de deux signaux spatiaux, si nous plaçons le premier signal dans la première ligne et le deuxième signal dans la deuxième ligne d'une matrice, puis multiplions par son hermitien et divisons également par $N$ , nous obtenons alors un $2\times 2$ matrice de covariance des deux signaux spatiaux.

Cependant, dans cet article, l'auteur calcule ce qui ressemble à quatre matricies, et R $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ , puis les met dans une super matrice et appelle cela la matrice de covariance.$R_2{}_2$

Pourquoi cela est-il ainsi? Voici une image du texte:

Si vous avez deux vecteurs de signaux et x 2 [ n ] chacun de N éléments, alors nous pouvons considérer deux choses différentes.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. Comment les quantités comparent? En particulier, lorsque les signaux sont bruyants et que les bruits peuvent être considérés comme étant conjointement stationnaires (ou conjointement stationnaires au sens large), ces quantités peuvent être utilisées pour estimer les variations de bruit dans les deux signaux ainsi que la covariance des bruits à tout temps d'échantillonnage fixe. Voici ce que vous obtenez du 2 × $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$ matrice de covariance Le bruit dans x 1 [ n ] a une variance σ 2 1 = R 1 , 1 qui pourrait être différente de R 2 , 2 = σ 2 2 , la variance du bruit dans x 2 [ n ] . Mais les bruits sont corrélés à la covariance R

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$ . Maintenant, si nous prévoyons de faire les choses avec exactement ce qui se passe à n , en ignorant tout ce qui pourrait se produire à n - 1 ou n + 1, etc., alors c'est toute l'information dont nous avons besoin.$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$