Quels sont, le cas échéant, les avantages de l'échantillonnage dérivé?

Dans Cinq nouvelles sur la série cardinale , l'auteur fait le commentaire suivant: $[1]$

Chose intéressante, Shannon continue en mentionnant que d'autres ensembles de données peuvent également être utilisés pour déterminer le signal à bande limitée - par exemple, les valeurs de ƒ et sa dérivée première à chaque autre point d'échantillonnage, les valeurs de ƒ et sa première et dérivées secondes à chaque troisième point d'échantillonnage, et ainsi de suite.

Le document mentionne certains développements historiques, mais je suis curieux de savoir quelles sont les "applications tueuses" pour l'échantillonnage dérivé. Est-ce qu'il porte d'autres noms? Y a-t-il d'autres généralisations de cette approche?

Une simple vue d'ensemble ou des pointeurs vers certaines références seraient parfaits.

JR Higgins, Cinq histoires courtes sur la série cardinale , Bull. Amer. Math. Soc. (NS) 12 (1985), no. 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

sampling

— datageist
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N'est-ce pas juste une autre façon de représenter le signal? [1, 2, 3, 4] pourrait également s'écrire [1, + 1,3, + 1], où tous les autres échantillons représentent la différence entre la valeur réelle et la valeur précédente. Je ne sais pas quel est le point.

— endolith

@endolith, c'est la question - offre-t-elle des avantages surprenants, ou est-ce vraiment juste une transformation triviale?

— datageist

Y a-t-il plus de contexte qui l'explique?

— endolith

@endolith, consultez la réponse de Yoda ci-dessous pour un aperçu de ce qui est mentionné dans l'article.

— datageist

Réponses:

Papoulis a introduit une généralisation du théorème d'échantillonnage [1], dont l'approche d'échantillonnage dérivée est un cas. L'essentiel du théorème, citant [2] est:

En 1977, Papoulis a introduit une extension puissante de la théorie d'échantillonnage de Shannon, montrant qu'un signal à bande limitée pouvait être reconstruit exactement à partir des échantillons de la réponse de systèmes invariants à décalage linéaire échantillonnés à du taux de reconstruction. $m$ $1/m$

Peut-être une des raisons pour lesquelles il est difficile de rechercher le terme est parce que le théorème d'échantillonnage généralisé de Papoulis est mentionné plus souvent que «échantillonnage dérivé». [2] est également un très bon article qui présente un large aperçu des approches d'échantillonnage au moment de la publication. [3], également du même auteur, est une extension de [1] à la classe des fonctions non limitées en bande.

En ce qui concerne les applications, dans un article récent [4], l'approche d'échantillonnage dérivé est utilisée pour concevoir des filtres à retard fractionnel à large bande et les auteurs montrent que l'échantillonnage de la dérivée entraîne des erreurs plus petites. Du résumé:

Dans cet article, la conception d'un filtre à retard fractionnel à large bande est étudiée. Premièrement, la formule de reconstruction de la méthode d'échantillonnage dérivé est appliquée pour concevoir un filtre à retard fractionnel à large bande en utilisant la substitution d'indice et la méthode de fenêtre. ... Enfin, des exemples numériques sont démontrés pour montrer que la méthode proposée présente une erreur de conception plus petite que le filtre à retard fractionnaire classique sans échantillonner la dérivée du signal.

Bien qu'il y en ait certainement plus, je m'abstiendrai de publier plus de références et d'applications pour les garder courtes (et éviter qu'elles ne se transforment en liste). Un bon point de départ serait de vérifier quels articles ont cité [1] - [3] et d'affiner la liste sur la base du résumé.

[1]: A. Papoulis, «Expansion d'échantillonnage généralisée», IEEE Trans. Circuits and Systems , vol. 24, non. 11, pages 652-654, 1977.

[2]: M. Unser, "Sampling - 50 years after Shannon", Actes de l'IEEE , vol. 88, num. 4, p. 569-587, 2000

[3]: M. Unser et J. Zerubia, "Une théorie d'échantillonnage généralisée sans contraintes de limitation de bande", IEEE Trans. Circuits and Systems II , vol. 45, num. 8, p. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng et SL Lee, "Design of Wideband Fractional Delay Filters Using Derivative Sampling Method", IEEE Trans. Circuits and Systems I , vol. 57, num. 8, p. 2087-2098, 2010

— Lorem Ipsum
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Est-ce que cela s'appelle également "échantillonnage à temps équivalent"?

— Spacey

Je ne connais aucune application d'un tel schéma d'échantillonnage. Il est généralement plus difficile d'échantillonner avec précision la dérivée d'un signal que sa valeur instantanée (les différenciateurs sont vulnérables au bruit haute fréquence en raison de leur réponse en fréquence en forme de rampe). Comme l'endolith l'a souligné dans le commentaire ci-dessus, si vous avez suffisamment d'informations dans vos échantillons discrets pour reconstruire le signal d'origine, vous pouvez calculer toutes les dérivées que vous souhaitez.

— Jason R
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Si cette méthode porte également le nom d '"échantillonnage à temps équivalent", je pense que je l'ai peut-être vu utilisé sur des applications radar. Essentiellement, au lieu d'échantillonner à un taux nyquist pour de telles applications à haute fréquence, plusieurs échantillonneurs tous retardés dans le temps peuvent échantillonner à une fraction du taux nyquist et toujours reconstruire le signal de réception radar.

— Spacey

C'est un très bel article auquel vous avez lié (je ne l'avais pas lu auparavant), et en fait, la réponse que vous cherchez se trouve dans cet article au §2.3! J'ai reproduit ci-dessous une partie du §2.3 qui est pertinente.

2.3 Échantillonnage dérivé

Afin d'illustrer une situation d'échantillonnage pratique, J. Fogel (1955) a cité l'exemple du tableau de bord d'un pilote d'avion, qui se compose traditionnellement de cadrans avec des pointeurs donnant des informations sur l'altitude, l'assiette, la vitesse de l'avion, etc. Les pilotes scannent leurs instruments , obtenant des informations de l’une d’entre elles sur une base à peu près périodique. Il est possible que des informations dérivées soient également disponibles pour le pilote; par exemple, l'altimètre serait «déroulé» à un rythme alarmant si l'avion était en piqué du nez! Il est tout à fait concevable que l'accélération du pointeur puisse également être observée; $r$ $f$ $[-\pi W,\pi W]$ $f'$

$f (t) = \sum {f (\frac{2 π}{W}) + (t - \frac{2 π}{W}) f^{'} (\frac{2 π}{W})} {\frac{\sin π (W t - 2 n) / 2}{π (W t - 2 n) / 2}}^{2}$ $f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$

Je crois que c'est toujours une application très valable de l'échantillonnage dérivé, car les avions ne sont pas démodés. Il y a peut-être eu plusieurs autres avancées technologiques (que je ne connais pas) qui pourraient rendre l'utilisation de l'échantillonnage dérivé inutile ces jours-ci, mais le point demeure.

LJ Fogel (1955), Une note sur le théorème d'échantillonnage , IRE Trans. Informer. Théorie 1 , 47–48

DL Jagerman et LJ Fogel (1956), Quelques aspects généraux du théorème d'échantillonnage , IEEE Trans. Informer. Théorie 2 , 139-156

— yoda
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Exactement, c'est le "développement historique" auquel je faisais allusion qui me fait penser que davantage de recherches auraient pu être faites dans ce sens (que je ne connais pas non plus). Merci de l'avoir référencé ici. Je n'ai trouvé que quelques références mineures jusqu'à présent à part cela (dans le contexte de l'échantillonnage non uniforme et de la conception du filtre à retard fractionnaire). En espérant plus est là-bas.

— datageist

Oh, je pensais que vous vouliez dire la nouvelle # 1: "Notes historiques" par ce commentaire. Je n'ai pas non plus pu trouver de nombreuses références pour cela. Je suppose que c'était plus un problème à l'époque, car ils devaient être pointilleux sur l'échantillonnage juste assez et rien de plus. Ils essayaient donc de couper les coins partout. De nos jours, avec l'avènement d'une puissance de calcul accrue, ce n'est pas tellement une préoccupation, bien que nous ayons maintenant un panier de problèmes différent.

— Lorem Ipsum

C'est quand même bien d'avoir cette section documentée ici. Je vais laisser celui-ci percoler un peu pour voir si quelque chose d'intéressant se présente ...

— Datageist

Le pilote dispose d'un «échantillonnage dérivé»: l'indicateur de vitesse verticale donne la dérivée de l'altitude.

— nibot

n

$n$

f

$f$

f^{'}

$f'$ termes sont constants par rapport à la somme telle qu'elle est). Je le corrigerais moi-même, mais la forme donnée dans la référence (Jagerman et Fogel) est complètement différente de celle qui est ici, donc je ne sais pas trop ce que vous vouliez.

— Tim Seguine