Densité spectrale de puissance vs Densité spectrale d'énergie

J'ai lu ce qui suit sur Wikipedia :

Densité spectrale de puissance:

La définition ci-dessus de la densité spectrale d'énergie est la plus appropriée pour les transitoires , c'est-à-dire les signaux de type impulsionnels, pour lesquels les transformées de Fourier des signaux existent . Pour les signaux continus qui décrivent, par exemple, des processus physiques stationnaires, il est plus logique de définir une densité spectrale de puissance (PSD), qui décrit comment la puissance d'un signal ou d'une série temporelle est distribuée sur les différentes fréquences, comme dans l'exemple simple donné précédemment.

Je ne comprends pas très bien ce paragraphe. La première partie dit que " pour certains signaux .. la transformée de Fourier n'existe pas ".

Pour quels signaux (dans le contexte dont nous discutons) la transformée de Fourier n'existe-t-elle pas, et nous devons donc recourir à la PSD plutôt que d'utiliser la densité spectrale d'énergie?
Lors de l'obtention de la densité spectrale de puissance, pourquoi ne pouvons-nous pas la calculer directement? Pourquoi devons-nous l' estimer ?
Enfin, sur ce sujet, j'ai lu sur les méthodes qui utilisent les fenêtres Kayser lors du calcul de la PSD au fil du temps. Quel est le but de ces fenêtres dans l'estimation PSD?

power-spectral-density

— Amelio Vazquez-Reina
source

Une réponse courte à l'une de vos questions: pour un signal déterministe , vous pouvez calculer sa densité spectrale de puissance. Cependant, la densité spectrale de puissance est également définie pour les processus aléatoires stationnaires à large sens . Dans ce contexte, la PSD est définie comme la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation du processus. Dans ce scénario, vous ne connaissez généralement pas la fonction d'autocorrélation exacte d'un processus aléatoire particulier que vous pourriez observer, vous essayez donc d' estimer sa PSD à partir de vos observations.

x (t)

$x(t)$

— Jason R

Un signal déterministe pour lequel existe est appelé signal d' énergie (fini) et son La transformée de Fourier existe. Mais si la limite n'existe pas, la transformée de Fourier n'a pas besoin d'exister dans le sens où est une intégrale divergente . Si existe, le signal est appelé signal de puissance et son La transformée de Fourier existe dans un sens généralisé (ce qui signifie que les impulsions sont généralement impliquées).

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

— Dilip Sarwate

Le processus aléatoire est sans fin, phénomène non périodique, donc prendre la transformée de Fourier de ses réalisations n'a aucun sens, pas possible non plus. Cependant, si le processus aléatoire est stationnaire, il est certain qu'il a une puissance finie sur une bande de fréquences. Maintenant, ici se pose la question de savoir comment calculer la puissance de ce processus aléatoire stationnaire, (la transformation de Fourier n'est pas possible d'être prise directement)? Alors que faire? nous trouvons la fonction d'auto-corrélation du processus aléatoire donné, dont la transformée de Fourier existe toujours. Enfin, nous prenons la transformation de Fourier de cette fonction d'autocorrélation pour obtenir la densité spectrale de puissance du processus stationnaire donné.

Si vous intégrez la densité spectrale de puissance d'un processus stationnaire donné sur l'intervalle de - à vous obtiendrez la puissance totale contenue dans le processus aléatoire donné. $\infty$ $\infty$

— kaka
source

Quand vous avez dit:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- pourquoi ça? Et faut-il nécessairement être stationnaire pour avoir une puissance finie sur une bande de fréquences?

— Amelio Vazquez-Reina

Les processus staionnaires ont toujours une moyenne finie et une variance finie. Cela signifie que le processus staionnaire a toujours un pouvoir fini. Puisque la puissance est finie, cela signifie que la densité spectrale de puissance du processus staionaire est finie sur une bande de fréquences. (la bande de fréquence peut être infinie).

— kaka

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Ceci est une erreur. Voir le deuxième paragraphe de cette réponse pour un contre-exemple.

— Dilip Sarwate