Comment les problèmes de triangulation de Voronoi Tesselation et Delaunay sont-ils doubles?

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On m'a toujours dit que le diagramme de Voronoi est le double du problème de triangulation de Delaunay. Dans quel sens peuvent-ils être des duels les uns des autres? Je pensais que les problèmes doubles (c'est-à-dire en programmation linéaire) sont censés produire la même réponse. De toute évidence, les deux problèmes n'ont pas la même solution. Comment pouvons-nous les considérer comme des duels?

computational-geometry delaunay-triangulation voronoi-diagrams

— Paul
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La dualité peut avoir différentes significations dans différents contextes. Par exemple, les espaces fonctionnels peuvent avoir deux espaces; l'espace dual de l'espace de fonction

est l'ensemble de toutes les formes linéaires sur

. Voir les articles Wikipedia sur la dualité en mathématiques et la liste des principes de dualité pour des exemples. Dans ce contexte, la question «qu'est-ce que cela signifie d'être un double problème» est à la fois trop vague et trop large, car elle dépend du contexte.

V

$V$

V

$V$

— Geoff Oxberry

C'est vrai, mais dans ce cas, je me réfère spécifiquement à la dualité dans le sens de ce problème particulier

— Paul

J'ai pensé, alors j'ai édité la partie où vous avez demandé "Qu'est-ce que cela signifie d'être un double problème?" dans un cadre plus général.

— Geoff Oxberry

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La réponse est simple: ils sont doubles car pour chaque triangulation de delaunay, il existe une et une seule tessellation de voronoi correspondante et vice versa. C'est vrai pour la plupart des cas, mais il y a des cas où la correspondance n'est pas un à un. Par exemple dans le cas où la tessellation voronoi est une grille carrée régulière.

La tessellation voronoï et la triangulation delaunay ne sont pas triviales à calculer pour un ensemble de points donné. Mais une fois que vous en avez trouvé un, l'autre est facile à trouver.

$P$

$P$ $R$ $R_i$ $P_i$ $P$

Étant donné la triangulation delaunay, connectez simplement les triangles voisins au centre du cercle.

$P$ $P$

— Peter
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Juste pour illustrer ce que disent les autres: le bleu ci-dessous est le diagramme de Voronoi, le rouge la double triangulation Delaunay. Ils sont doubles les uns des autres sous forme de graphiques de plan géométrique. À partir du diagramme de Voronoï, il est trivial de dériver la triangulation de Delaunay. La direction inverse n'est pas si évidente, mais il reste vrai qu'à partir de la triangulation de Delaunay et de certains calculs, vous pouvez calculer le diagramme de Voronoi.
Vor Diag Del Tri
J'ai calculé ces diagrammes pour 50 points aléatoires dans Mathematica en utilisant le package ComputationalGeometry . Voir ce lien pour mon code.

— Joseph O'Rourke
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Merci pour l'info. Il est dommage que Mathematica ne fasse que des pavages Voronoi non pondérés; nous aurions pu utiliser une telle capacité il y a quelques mois pour un projet!

— aeismail

C'est aussi assez facile à faire en Python. Découvrez scipy.spatial.

— meawoppl

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${\bf P}$ ${\bf G}$ $G_i$ $P_i$ $P_j \in {\bf P}, j \neq i$ ${\bf P}$

En un sens, cela est similaire à la dualité existant entre les réseaux triangulaires et hexagonaux en physique statistique. Les points médians des cellules dans un réseau triangulaire équilatéral, lorsqu'ils sont connectés, forment un réseau hexagonal, et vice versa .

Cependant, il convient de noter que les pavages de Voronoï ne sont pas tous des duels de triangulations de Delaunay; cette relation n'est probablement valable que pour les pavages de Voronoï non pondérés . Pour les méthodes de pavage pondéré, dans lesquelles autre chose que la distance euclidienne est utilisée pour déterminer les bords, la correspondance se décompose.

— aeismail
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Pour approfondir le commentaire de Geoff: la triangulation de Delaunay et les diagrammes de Voronoi sont des "objets" plutôt que des "problèmes". Par conséquent, parler de «solutions» est un peu décalé.

La dualité est entre les tessalations et les triangulations: pour passer de la triangulation à la tesselation, vous formez l'ensemble Voronoi des sommets de la triangulation. Pour passer de la tesselation de Voronoi à la triangulation de Delaunay, vous connectez les «points médians» de deux cellules si elles se touchent.

— Poignard
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Les graphes de Voronoi et Delaunay sont appelés dual pour leurs propriétés de graphe. Voir Dual Graph sur Wikipédia.

— Dernier soupir
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