Comment appliquer les conditions aux limites lors de l'utilisation de la méthode des volumes finis?

Suite à ma question précédente , j'essaie d'appliquer des conditions aux limites à ce maillage de volume fini non uniforme,

La limite de gauche comprend une cellule fantôme.

Je voudrais appliquer une condition aux limites de type Robin aux lhs du domaine ( $x=x_L)$ , de telle sorte que,

σ_{L} = (d u_{x} + a u) |_{x = x_{L}}

$\sigma_L = \left( d u_x + a u \right) \bigg|_{x=x_L}$

où est la valeur limite; sont des coefficients définis respectivement sur la frontière, l'advection et la diffusion; $\sigma_L$ $a, d$ , est la dérivée deévaluée à la frontière etest la variable pour laquelle nous résolvons. $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ $u$ $u$

Approches possibles

Je peux penser à deux façons de mettre en œuvre cette condition aux limites sur le maillage de volume fini ci-dessus:

Une approche de cellule fantôme.

Écrivez comme une différence finie incluant une cellule fantôme. $u_x$
$σ_{L} = d \frac{u_{1} - u_{0}}{h_{-}} + a u (x_{L})$ $\sigma_L = d \frac{u_1 - u_0}{h_{-}} + a u(x_L)$
A. Ensuite, utilisez une interpolation linéaire avec les points et pour trouver la valeur intermédiaire, . $x_0$ $x_1$ $u(x_L)$

B. Alternativement trouver en faisant la moyenne sur les cellules, $u(x_L)$ $u(x_L) = \frac{1}{2}(u_0 + u_1)$

Dans les deux cas, la dépendance vis-à-vis des cellules fantômes peut être éliminée de la manière habituelle (par substitution dans l'équation de volume fini).
Une approche d'extrapolation.

Ajustez une fonction linéaire (ou quadratique) à en utilisant les valeurs aux points ( ). Cela fournira la valeur à . La fonction linéaire (ou quadratique) peut ensuite être différenciée pour trouver une expression pour la valeur de la dérivée, , à la frontière. Cette approche n'utilise pas de cellule fantôme. $u(x)$ $x_1, x_2$ $x_3$ $u(x_L)$ $u_x(x_L)$

Des questions

Quelle approche des trois (1A, 1B ou 2) est «standard» ou recommanderiez-vous?
Quelle approche introduit la plus petite erreur ou est la plus stable?
Je pense que je peux mettre en œuvre l'approche de la cellule fantôme moi-même, cependant, comment l'approche d'extrapolation peut-elle être mise en œuvre, cette approche a-t-elle un nom?
Existe-t-il une différence de stabilité entre l'ajustement d'une fonction linéaire ou une équation quadratique?

Équation spécifique

Je souhaite appliquer cette frontière à l'équation d'advection-diffusion (sous forme de conservation) avec un terme source non linéaire,

u_{t} = - a u_{x} + d u_{x x} + s (x, u, t)

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

La discrétisation de cette équation sur le maillage ci-dessus en utilisant la méthode donne, $\theta$

w_{j}^{n + 1} - θ r_{a} w_{j - 1}^{n + 1} - θ r_{b} w_{j}^{n + 1} - θ r_{c} w_{j + 1}^{n + 1} = w_{j}^{n} + (1 - θ) r_{a} w_{j - 1}^{n} + (1 - θ) r_{b} w_{j}^{n} + (1 - θ) r_{c} w_{j + 1}^{n} + s (x_{j}, t_{n})

$w_{j}^{n+1} - \theta r_a w_{j-1}^{n+1} - \theta r_b w_{j}^{n+1} - \theta r_c w_{j+1}^{n+1} = w_j^n + (1-\theta) r_a w_{j-1}^n + (1-\theta) r_b w_j^n + (1-\theta) r_c w_{j+1}^n + s(x_j,t_n)$

Cependant pour le point limite ( ) je préfère utiliser un schéma totalement implicite ( ) pour réduire la complexité, $j=1$ $\theta=1$

w_{1}^{n + 1} - r_{a} w_{0}^{n + 1} - r_{b} w_{1}^{n + 1} - r_{c} w_{2}^{n + 1} = w_{1}^{n} + s_{1}^{n}

$w_{1}^{n+1} - r_a w_{0}^{n+1} - r_b w_{1}^{n+1} - r_c w_{2}^{n+1} = w_1^n + s_1^n$

Remarquez le point fantôme , il sera supprimé en appliquant la condition aux limites. $w_0^{n+1}$

Les coefficients ont les définitions,

r_{a} = \frac{Δ t}{h_{j}} (\frac{a h_{j}}{2 h_{-}} + \frac{d}{h_{-}})

$r_a = \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{ah_j}{2h_{-}} + \frac{d}{h_{-}} \right)$

r_{b} = - \frac{Δ t}{h_{j}} (\frac{a}{2} [\frac{h_{j - 1}}{h_{-}} - \frac{h_{j + 1}}{h_{+}}] + d [- \frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}}])

$r_b = - \frac{\Delta t}{h_j}\left( \frac{a}{2}\left[ \frac{h_{j-1}}{h_{-}} - \frac{h_{j+1}}{h_{+}} \right] + d\left[-\frac{1}{h_{-}} - \frac{1}{h_{+}} \right]\right)$

r_{c} = \frac{Δ t}{h_{j}} (- \frac{a h_{j}}{2 h_{+}} + \frac{d}{h_{+}})

$r_c = \frac{\Delta t}{h_j}\left(- \frac{ah_j}{2h_{+}} + \frac{d}{h_{+}} \right)$

Toutes les variables " " sont définies comme dans le diagramme ci-dessus. Enfin, qui est le pas de temps ( NB c'est un cas simplifié avec des coefficients constants et , en pratique les coefficients " " sont légèrement plus compliqués pour cette raison). $h$ $\Delta t$ $a$ $d$ $r$

boundary-conditions finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
source

Le livre le plus récent de LeVeque sur les méthodes de volumes finis préconise les cellules fantômes, en raison de leur simplicité de mise en œuvre, mais je ne me souviens pas de la discussion des termes d'erreur.

— Geoff Oxberry

Pouvez-vous mettre les équations que vous voulez résoudre? Le chemin à parcourir dépendra également du problème. Par exemple, il se pourrait bien qu'en raison de la partie «Neumann», les conditions aux limites soient comme naturellement résolues dans la formulation discrète.

— Jan

@GeoffOxberry merci pour la suggestion. Je suis heureux d'utiliser la cellule fantôme, je vais essayer de l'implémenter de cette façon.

— boyfarrell

@Jan J'ai d'abord évité de poser les équations à cause de la complexité due à la discrétisation du maillage non uniforme, mais je viens de mettre à jour la question avec ces détails. Il s'agit d'un problème d'advection-diffusion. Je ne sais pas trop ce que vous entendez par «naturellement résolu».

— boyfarrell

Comme Neumann, les BC sont naturellement résolus dans les schémas FEM pour, par exemple, l'équation de Poisson. Pour FVM, je pense à: Considérons la première cellule

. Si vous avez une valeur pour

\int_{0}^{h} d_{x} (a u + d u_{x}) d x = (a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (a u + d u_{x}) |_{x = 0} = \int s

$\int_0^h d_x (au+du_x) \text{d}x = (au+du_x)|_{x=h_1}-(au+du_x)|_{x=0} = \int s$

u_{x}

$u_x$ à la frontière, il n'est pas nécessaire de la discrétiser.

— Jan

Il s'agit plutôt d'une remarque générale sur la MVF que d'une réponse à des questions concrètes. Et le message est qu'il ne devrait pas y avoir besoin d'une telle discrétisation ad hoc des conditions aux limites.

Contrairement aux méthodes FE ou FD, où le point de départ est un ansatz discret pour la solution, l'approche FVM laisse la solution intacte (dans un premier temps) mais fait la moyenne d'une segmentation du domaine. La discrétisation de la solution n'entre en jeu que lorsque le système d'équations d'équilibre obtenu est transformé en un système d'équations algébriques par approximation des flux à travers les interfaces.

En ce sens, compte tenu des conditions aux limites, je conseille de m'en tenir à la forme continue de la solution le plus longtemps possible et de n'introduire les approximations discrètes qu'à la toute fin.

Disons que l'équation est valable pour tout le domaine. Il tient alors sur le sous-domaine , et une intégration dans l'espace donne

u_{t} = - a u_{x} + d u_{x x} + s (x, u, t)

$u_t = -au_x + du_{xx} + s(x,u,t)$

[0, h_{1})

$[0,h_1)$

qui est la contribution de la première cellule au système d'équations. À noter qu'en dehors de la prise de moyennes, il n'y a pas eu de discrétisation de

\begin{aligned} \int_{0}^{h_{1}} u_{t} d x & = & \int_{0}^{h_{1}} \partial_{x} (- a u + d u_{x}) d x & + & \int_{0}^{h_{1}} s (x, u, t) d x \\ = & (- a u + d u_{x}) |_{x = h_{1}} - (- a u + d u_{x}) |_{x = 0} & + & \int_{0}^{h_{1}} s (x, u, t) d x, \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^{h_1}u_t \text{d}x &=& \int_0^{h_1} \partial_x(-au + du_{x})\text{d}x &+& \int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x \\ &=& (-au + du_{x})|_{x=h_1}-(-au + du_{x})|_{x=0}&+&\int_0^{h_1} s(x,u,t)\text{d}x, \end{align}$

u

$u$

$C_i$ $u$ $u(t,x)|_{C_i} = u_i(t)$ $u(x_i)\approx u_i$ $u_x|_{h_i}$ $u_{i}$ $u_{i+1}$ $u$

$(-au + du_{x})|_{x=0}$ $u$

$u|_{x=0}=g_D$ $u_0$ $u_1$ $g_D$
${u_x|}_{x=0} = g_N$ $u_0$ $u_1$ $g_N$
$(-a u + du_x )|_{x=0}= g_R$

Cependant, je ne sais pas quoi faire dans le cas où il y a des bc de type Robin qui ne correspondent pas directement au flux. Cela nécessitera une certaine régularisation en raison de la discontinuité des paramètres d'advection et de diffusion.

===> Quelques réflexions personnelles sur FVM <===

La FVM n'est pas un FDM à l'échelle, comme le suggèrent souvent des exemples d'équations de Poisson 1D sur une grille régulière
Il ne devrait pas y avoir de grille dans FVM, il devrait y avoir des cellules avec des interfaces et, si nécessaire, des centres
C'est pourquoi je pense qu'une formulation au pochoir de la discrétisation ne convient pas
$i$ $\Omega_i$ $u_i$
$h_i$ $d_i:=d_{i,i+1}=|x_i-x_{i+1}|$

— Jan
source

Merci pour vos conseils pendant que j'apprenais cette méthode. Peut-être que je peux aussi partager mes pensées. Je suis d'accord qu'il vaut mieux dire avec le formulaire FVM le plus longtemps possible; en particulier pour les conditions aux limites comme vous l'avez montré! Mais je pense qu'il est très utile lors de la mise en œuvre d'écrire l'équation sous forme de matrice; c'est une notation précise et claire. De plus, la stabilité et d'autres propriétés numériques dépendent de manière cruciale de la façon dont le problème est discrétisé (pour FVM, cela signifie comment les flux et les faces des cellules sont approximés). À cet égard, je préfère les équations matricielles à l'itération sur les cellules.

— boyfarrell

Peut-être que mon dernier point était ambigu. Au final, vous aurez une matrice de coefficients et un vecteur variable. Je vais modifier mon message. J'étais plus sur l'interprétation que sur le fait.

— janvier

Fantastique, je comprends votre point. Merci.

— boyfarrell