L'équation d'advection à vitesse variable peut-elle être conservatrice?

J'essaie de comprendre un peu mieux l'équation d'advection avec un coefficient de vitesse variable. En particulier, je ne comprends pas comment l'équation peut être conservatrice.

L' équation d'advection ,

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} (v u) = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$

Interprétons comme étant la concentration de certaines espèces physiques ( ) ou d'une autre quantité physique qui ne peut pas être créée ou détruite. Si nous intégrons sur notre domaine, nous devrions obtenir une constante, $u(x,t)$ $cm^{-3}$ $u(x,t)$

\int_{x_{min}}^{x_{max}} u (x, t) d x = constant

$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$

(C'est ce que je veux dire par être conservateur.)

Si nous laissons maintenant la vitesse être fonction de l'espace (et du temps), $\boldsymbol{v}(x,t)$ , alors la règle de chaîne doit être appliquée pour donner,

\frac{\partial u}{\partial t} + v \frac{\partial u}{\partial x} + \underset{?}{\underset{⏟}{u \frac{\partial v}{\partial x}}} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$

Le terme final "ressemble" à un terme source et c'est ce que je trouve déroutant. Il augmentera ou diminuera la quantité $u$ fonction de la divergence du champ de vitesse.

Suite à cette question , je comprends comment imposer des conditions aux limites de conservation. Cependant, pour l'équation d'advection à vitesse variable, je ne comprends pas comment les conditions aux limites de conservation peuvent être dérivées en raison du «terme source» supplémentaire qui est introduit en appliquant la règle de chaîne. Cette équation peut-elle être conservatrice? Si oui, comment appliquer des conditions aux limites correctes?

advection conservation

— boyfarrell
source

La quantité fondamentale dans le transport est le flux , pour l'advection. Le théorème de divergence déclare que $\mathbf v u$

\int_{Ω} \nabla \cdot (v u) = \int_{\partial Ω} (v u) \cdot n .

$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$

Une équation est conservatrice lorsqu'elle préserve cette égalité. En passant à 1D avec et en utilisant l'équation , nous avons $\Omega = (a,b)$ $u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

(\int_{a}^{b} u)_{t} = \int_{a}^{b} u_{t} = - \int_{a}^{b} (v u)_{x} = - v u |_{a}^{b}

$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$

où le terme à droite est juste la différence de flux entre les limites gauche et droite.

Concernant votre deuxième observation, la forme non conservatrice (non-divergence) est trompeuse (et ne se justifie que pour des solutions fluides). Le produit n'est pas un transport conservateur si n'est pas exempt de divergence (c'est-à-dire constant dans 1D). Vous devez vous en tenir à la forme conservatrice et résister à l'envie d'appliquer la règle de la chaîne lors de l'évaluation des propriétés de conservation. $\mathbf v \cdot \nabla u$ $\mathbf v$

— Jed Brown
source

Merci pour une réponse vraiment claire, encore une fois, Jed! Je pense que je vais poser une question complémentaire à cela, mais je dois d'abord essayer de mettre en œuvre votre suggestion.

— boyfarrell