Oscillations dans les problèmes de réaction-diffusion singulièrement perturbés avec des éléments finis

Lors de la discrétisation FEM et de la résolution d'un problème de réaction-diffusion, par exemple, avec (perturbation singulière), la solution du problème discret présentera typiquement des couches oscillatoires proches de la frontière. Avec

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$ , et des éléments finis linéaires, la solution ressemble

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

solution d'un problème singulièrement perturbé

Je vois qu'il y a beaucoup de littérature sur ces effets indésirables lorsqu'ils sont causés par la convection (par exemple, les discrétisations au près), mais en ce qui concerne la réaction, les gens semblent se concentrer sur des maillages raffinés (Shishkin, Bakhvalov).

Existe-t-il des discrétisations qui évitent de telles oscillations, c'est-à-dire qui préservent la monotonie? Quoi d'autre peut être utile dans ce contexte?

— Nico Schlömer
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Le schéma de différence central ne préserve-t-il pas la monotonie car il conduit à une matrice M ?

— Hui Zhang

@HuiZhang Malheureusement non. Pour les éléments finis, la réaction contribue qui produit des entrées hors diagonales positives.

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

— Nico Schlömer

@HuiZhang Vous avez bien sûr raison dans le cas de différences finies (et de volumes finis aussi). Je vais adapter la réponse pour dire plus clairement que je m'intéresse aux éléments finis.

— Nico Schlömer

Les méthodes discontinues de Galerkin sont devenues très populaires pour de tels problèmes - avez-vous regardé le livre de Di Pietro et Ern?

— Christian Clason

Réponses:

Dans le cas que vous montrez, la solution a une couche limite. Si vous ne pouvez pas le résoudre parce que votre maillage est trop grossier, alors pour toutes les questions pratiques, la solution est discontinue dans le schéma numérique.

$N$ termes d'une série de Fourier. Mais là, vous savez ce qui va se passer lorsque vous l'appliquez à une fonction discontinue: vous obtenez le phénomène de Gibbs avec des dépassements et des dépassements. La situation ici n'est vraiment pas différente et cela se produira avec n'importe quel schéma linéaire.

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Wolfgang Bangerth
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TL; DR: Vos options sont limitées 1) optez pour la force brute adaptative pour une solution précise et coûteuse 2) utilisez la diffusion numérique pour une solution moins précise mais stable ou (mon préféré) 3) tirez parti du fait qu'il s'agit d'un problème de perturbation singulier et résolvez deux problèmes intérieurs / extérieurs peu coûteux et laissez les asymptotiques assorties faire sa magie!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ solution intérieure avec facilité - dans ce cas, même analytiquement.

C'est en fait la technique qui était (et est toujours) très populaire pour résoudre les problèmes de couche limite laminaire en mécanique des fluides à l'époque. En fait, si vous regardez les équations de Navier-Stokes, à des nombres de Reynolds élevés, vous êtes effectivement confronté à un problème de perturbation singulier qui, comme celui que vous avez mentionné ici, développe une couche limite (fait amusant: les termes "couche limite" dans la perturbation l'analyse vient en fait du problème de couche limite fluide que je viens de décrire).

$u_0 = 1$

— GradGuy
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