Comment la théorie fonctionnelle de la densité évolue-t-elle avec la taille du système?

Théoriquement, comment le temps pour faire une échelle de calcul de la théorie fonctionnelle de la densité (DFT) avec le nombre d'électrons? Je m'intéresse aux implémentations DFT "typiques" telles que VASP, ABINIT, etc., pas aux codes O (N).

density-functional-theory

— Max Radin
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La réponse correcte la plus simple est que DFT est en . Cela vient de l'idée que vous diagonalisez finalement un hamiltonien de dimension proportionnelle au nombre d'élections et que la diagonalisation est techniquement . $O(N_e^3)$ $O(n^3)$

En réalité, la DFT est un ensemble d'étapes et différentes étapes limitent le débit dans un contexte différent. Si nous nous limitons aux ondes planes (PW) DFT (VASP, ABINIT, QE et autres), nous pouvons faire des déclarations plus fortes. Une idée importante à comprendre pour les codes PW DFT est que le hamiltonien n'est jamais stocké comme une grande matrice; au lieu de cela, l'action de l'opérateur hamiltonien est calculée et utilisée dans ce qui est généralement des diagonalisateurs itératifs «internes» (gradient conjugué, davidson, etc.). Ces diagonalisateurs sont formellement , où est le coût du calcul de l'action de l'hamiltonien, mais étant donné leur rôle dans un algorithme auto-cohérent plus large, ils ont tendance à fonctionner beaucoup plus rapidement. $O(n_e MV)$ $MV$

Le processus de calcul de l'action de l'hamiltonien se déroule en deux étapes:

Le potentiel local dans l'espace réel nécessite une FFT, $O(n_v \ln n_v)$
La projection peut se produire dans l'espace réel ou g, ou , respectivement $O(n_a n_p)$ $O(n_a n_p n_v)$
Le potentiel non local est respectivement diagonal ou bloc diagonal, ou , respectivement $O(n_a n_p)$ $O(n_a n_p^2)$

tout cela doit se produire une fois par électron (vraiment, fonction d'onde), alors ajoutez un facteur à chacun d'eux. $n_e$

Par certains moyens (Gram-Schmidt, par exemple), les fonctions d'onde (fonctions propres de l'hamiltonien) doivent être maintenues orthogonales entre elles, $O(n_e^2 n_v)$

Enfin, les fonctions d'onde doivent être composées en une densité d'électrons. Dans les codes PW, ceci est accompli avec une dernière FFT par fonction d'onde (et une somme), . $O(n_e n_v \ln n_v)$

Notez que j'ai mis quelques différents : est lié au volume (vraiment, c'est la taille de base), est le nombre de projecteurs par atome, est le nombre d'atomes et le nombre d'électrons. Formellement, , et sont tous liés linéairement les uns aux autres ( est un petit entier), mais vous pourriez imaginer augmenter le volume avec un nombre fixe d'électrons (ajouter du vide dans les géométries de dalle / fil) ou augmenter le nombre de projecteurs avec nombre fixe d'atomes et d'électrons (en utilisant un pseudo-potentiel plus précis). $n$ $n_v$ $n_p$ $n_a$ $n_e$ $n_v$ $n_a$ $n_e$ $n_p$

Il est courant que les problèmes soient limités par la FFT, auquel cas ils sont effectivement , ce qui est une réponse quelque peu courante dans la littérature, sinon techniquement correcte. $O(n^2 \ln n)$

— Max Hutchinson
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Avez-vous vraiment besoin de la composition complète de l’égende, ou seulement d’une petite partie du spectre?

— Victor Liu

Vous avez besoin de fonctions propres (généralement ).

O (n_{e})

$O(n_e)$

n_{e} / 2

$n_e /2$

— Max Hutchinson

Merci pour votre réponse! Pouvez-vous recommander des articles qui ont discuté de cette question ou effectué des repères?

— Max Radin

G. Kresse, Computational Materials Science 6, 15 (1996) est l'introduction standard à VASP; vous voudrez peut-être commencer par la section 6. RM Martin, Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods (Cambridge Univ Pr, 2004) est une excellente introduction à la DFT (ondes planes et autres), mais est probablement moins explicite sur la complexité.

— Max Hutchinson du