Calcul du facteur de Cholesky

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Ainsi , le théorème de décomposition de Cholesky que que toute réel symétrique définie positive matrice a une décomposition de Cholesky où est une matrice triangulaire inférieure. $M$ $M= LL^\top$ $L$

Compte tenu , nous savons déjà , il y a des algorithmes rapides pour calculer le facteur de Cholesky . $M$ $L$

Supposons maintenant qu'on m'a donné une matrice rectangulaire , et que je savais que était défini positif. Existe-t-il un moyen de calculer le facteur de Cholesky de sans calculer explicite, puis en appliquant des algorithmes de factorisation de Cholesky? $m\times n$ $A$ $A^\top A$ $L$ $A^\top A$ $A^\top A$

Si est une très grande matrice rectangulaire exécutant semble explicitement très cher et d'où la question. $A$ $A^\top A$

linear-algebra algorithms

— Bouddha souriant
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Plus que la charge de la formation de la matrice multi-produits, cette approche également carrés le nombre de condition de votre . Si votre est presque sans classement, alors c'est certainement une mauvaise façon de procéder.

A

$\mathbf A$

A

$\mathbf A$

— JM

Cette question et cette question demandent la même chose de différentes manières. Les réponses dans ces fils (et les réponses ci-dessous) devraient vous être utiles.

— Damien

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Oui, vous pouvez obtenir le facteur (jusqu'aux signes des entrées) en utilisant la décomposition QR; voir cette réponse . Notez que si tout ce qui vous intéresse est de résoudre le problème des moindres carrés qui mène aux équations normales impliquant , vous pouvez utiliser directement la décomposition QR. $A^T A$

— Christian Clason
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Oui. Calculez la factorisation et prenez ; redimensionnez les rangées de si nécessaire (en changeant certains de leurs signes) pour rendre le signe de la diagonale non négatif (car le facteur de Cholesky est défini comme ayant une diagonale non négative). $QR$ $L=R^T$ $R$

Pour les factorisations QR éparses, voir, par exemple, http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408

— Arnold Neumaier
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