intégration numérique avec division possible par «zéro»

J'essaye d'intégrer

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) ré t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

qui est une simple transformation de

\int_{1}^{\infty} X^{2 n} \exp (- α r_{0} X) ré X

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

en utilisant car il est difficile d'approximer numériquement les intégrales incorrectes. Cela pose cependant le problème de l'évaluation de la nouvelle intégrale proche de zéro. Il sera très facile d'obtenir le bon nombre de nœuds de quadrature, car l'intervalle n'est que de longueur 1 (donc lecomparablepeut être rendu très petit), mais quelle sorte de considérations dois-je faire lors de l'intégration près de zéro? $t = \frac1{x}$ $dt$

À un certain niveau, je pense que prendre simplement est une bonne idée oùest un petit nombre. Cependant, quel numéro dois-je choisir? Doit-il s'agir d'une machine epsilon? La division par machine epsilon est-elle un nombre bien quantifié? De plus, si la division de ma machine epsilon (ou près de celle-ci) donne un nombre incroyablement élevé, alors prendre $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ deviendra encore plus grand. $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

Comment dois-je en tenir compte? Existe-t-il un moyen d'avoir une intégrale numérique bien définie de cette fonction? Sinon, quelle est la meilleure façon d'intégrer la fonction?

quadrature accuracy

— drjrm3
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Avez-vous pensé à utiliser Monte Carlo?

— Faheem Mitha

J'ai l'impression que cela ne résoudrait pas le problème. L'intégration de Monte Carlo est souvent réservée aux intégrales de grande dimension. Je rencontrerais exactement les mêmes problèmes avec Monte Carlo, j'aurais simplement moins de contrôle sur l'endroit où ma fonction est évaluée.

— drjrm3

Il se peut que vous ayez raison.

— Faheem Mitha

Je pense qu'il serait toujours bon d'avoir une réponse (peut-être à une question distincte et plus générale) expliquant comment on fait l'intégration numérique lorsque la fonction est divergente à une limite, pour le cas général où il n'est pas possible de faire l'intégrale analytiquement. Là encore, cela pourrait tout aussi bien être trouvé dans les recettes numériques ...

— David Z

@Faheem: "Monte Carlo est une méthode extrêmement mauvaise; elle ne devrait être utilisée que lorsque toutes les méthodes alternatives sont pires." - Alan Sokal

— JM

Réponses:

\int_{1}^{\infty} X e^{- une X} = \frac{- 1}{une} X e^{- une X} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{une} \int_{1}^{\infty} e^{- une X} = \frac{e^{- une}}{une} + \frac{e^{- une}}{{une}^{2}} = \frac{une + 1}{{une}^{2}} e^{- une}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} X^{k} e^{- une X} = \frac{- 1}{une} X^{k} e^{- une X} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- k}{une} \int_{1}^{\infty} X^{k - 1} e^{- une X} = \frac{e^{- une}}{une} + \frac{k}{une} \int_{1}^{\infty} X^{k - 1} e^{- une X}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

je (k) = \frac{e^{- une}}{une} + \frac{k}{une} je (k - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

— Matt Knepley
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absolument aucune idée de comment j'ai négligé cela. Merci.

— drjrm3

Les substitutions intelligentes et l'intégration par pièces doivent toujours être l'une des premières choses que vous faites avec des intégrales indisciplinées.

— JM

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

— Erik P.

En fait, Mathematica choisit de représenter la réponse sous la forme ExpIntegralE [-2 n, ar]. Si vous exécutez FunctionExpand dessus, il donne la même réponse que Maple.

— Searke

Jetez un œil à QUADPACK . Il a des routines d'intégration sur des domaines (semi-) infinis.

— GertVdE
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