Comment intégrer l'expression polynomiale sur un élément 3D à 4 nœuds?

Je souhaite intégrer une expression polynomiale sur un élément à 4 nœuds en 3D. Plusieurs livres sur FEA couvrent le cas où l'intégration est effectuée sur un élément arbitraire à 4 non-plats. La procédure habituelle dans ce cas est de trouver la matrice de Jacobi et d'utiliser son déterminant pour changer la base d'intégration en celle normalisée dans laquelle j'ai les limites d'intégration plus simples [-1; 1] et la technique de quadrature de Gauss-Legendre est facilement utilisée.

En d'autres termes, est réduit à la forme de $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Mais dans le cas 2D, je change l'élément arbitraire plat en un élément plat mais bien carré 2 par 2.

L'élément 3D à 4 nœuds n'est pas plat en général, mais je suppose qu'il peut toujours être mappé avec le système de coordonnées 2D qui est en quelque sorte lié au système de coordonnées cartésiennes. Je ne peux pas comprendre comment exprimer {x, y, z} en termes de {e, n} et quelle serait la taille de la matrice de Jacobi dans ce cas (elle est censée être carrée).

Domaines 2D et 3D

finite-element quadrature

— danny_23
source

Vous intégrez une fonction sur une variété à 2 dimensions intégrée dans ; Les livres d'analyse sur les variétés (comme le livre accessible de Munkres ou les livres de Lee sur les variétés) sont utiles pour discuter de la théorie définissant ce type d'intégrale. $\mathbb{R}^{3}$

Supposons que soit une fonction à valeur réelle définie sur la variété , qui est votre élément 3D à 4 nœuds. $f$ $\mathcal{M}$

Vous souhaitez calculer:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

Supposons que est une fonction qui mappe à . alors $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(J'ai utilisé cet ensemble de notes pour rafraîchir ma mémoire.) Ci-dessus, est la matrice jacobienne de et est sa transposition. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

Une fois que vous pouvez écrire l'intégrale sur , vous pouvez alors utiliser des méthodes numériques pour l'évaluer. $[-1,1]^{2}$

Certains commentaires:

Je suis presque sûr que votre élément 3D à 4 nœuds est un collecteur. Si tel est le cas, la fonction existe (par définition), est continue par morceaux (pour les variétés topologiques) et est inversible. C'est à vous de trouver une fonction avec ces propriétés. $\varphi$
L'argument ci-dessus suppose que est une variété lisse, ce qui implique qu'il existe un qui est continuellement différenciable. Dans votre cas, l'élément que vous décrivez peut ne pas être différenciable en continu. Si cela est vrai, vous pourriez probablement toujours partitionner votre manifold en deux manifolds lisses, et l'argument ci-dessus tient toujours. Encore une fois, vous devez trouver satisfaisant les propriétés d'invertibilité et de différentiabilité continue. $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
source

Merci beaucoup. Le livre que je lis ne couvre que le cas où une matrice Jacobi carrée (2 par 2) est impliquée pour garder les choses simples. L'expression ci-dessus si je l'ai bien fait permet d'utiliser des matrices Jacobi de taille arbitraire (2 par 3). Malheureusement, je reçois toujours pour le moment mais c'est beaucoup mieux que ce que j'avais auparavant. Je vais créer un autre fil sur le bon choix de la fonction de mappage. Merci encore.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

Votre matrice jacobienne doit être 3 par 2, donc doit être une matrice 2 par 2.

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— Geoff Oxberry

Geoff, c'est exact. Je mets simple formule générale , plus un exemple travaillé ici: theoretical-physics.net/dev/src/math/integration.html

— Ondřej Čertík