Quel est l'état actuel des préconditionneurs polynomiaux?

Je me demande ce qui est arrivé aux préconditionneurs polynomiaux. Je m'intéresse à eux, car ils semblent relativement élégants d'un point de vue mathématique, mais d'après ce que j'ai lu dans les enquêtes sur les méthodes de krylov, ils fonctionnent généralement très mal en tant que préconditionneurs. Pour reprendre les mots de Saad et van der Host, «L'intérêt actuel pour ces techniques a pratiquement disparu» (ici) . Néanmoins, des calculs multicœurs et GPU ont été utilisés récemment.

Quelqu'un peut-il me dire ou plutôt m'expliquer dans quels contextes ces méthodes sont toujours vivantes et où trouver un bon aperçu de l'état actuel de la technique?

Pour fonctionner raisonnablement, les préconditionneurs polynomiaux ont besoin d'estimations spectrales assez précises. Pour les problèmes elliptiques mal conditionnés, les plus petites valeurs propres sont généralement séparées de sorte que des méthodes comme Tchebychev sont loin d'être optimales. La propriété la plus intéressante des méthodes polynomiales est qu'elles ne nécessitent aucun produit interne.

Il est en fait assez populaire d'utiliser des lisseurs polynomiaux en multigrille. La principale différence avec un préconditionneur est que le lisseur n'est censé cibler qu'une partie du spectre. Un lisseur polynomial est actuellement la valeur par défaut dans le multigrille de PETSc, par exemple. Voir aussi Adams et al, Parallel multigrid smoother: polynomial versus Gauss-Seidel (2003) pour une comparaison.

Les préconditionneurs polynomiaux peuvent être utilisés uniquement pour réduire la fréquence des réductions. Bien qu'ils doivent être recalibrés pour chaque matrice, les économies peuvent être importantes sur le matériel dans lequel les réductions sont coûteuses (commun sur les grands supercalculateurs). Voir McInnes, Smith, Zhang et Mills, Hierarchical and Nested Krylov Methods for Extreme-Scale Computing (2012) pour plus d'informations.