Difficulté avec la méthode spectrale utilisant les polynômes de Chebyshev

J'ai un peu de difficulté à comprendre un document. Le papier utilise une méthode spectrale pour résoudre une valeur propre qui provient d'un système d'ODE couplés. Je vais écrire une seule équation maintenant, car cela suffit pour aller au cœur de ma (mes) question (s).

L'équation est

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Je réalise le dérivé et j'obtiens

(Eq1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Maintenant, selon l'article, je devrais être en mesure d'augmenter les quantités d'équilibre ) du système en tant que polynômes de Chebyshev de la forme $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, oùsont les polynômes. Je sais comment obtenir leutilisant le code que j'ai écrit dans Mathematica. Aussi, et le domaine deest. $B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

L'article indique également que les fonctions ( ) peuvent être développées comme $V,W$ , et qu'en général un terme commepeut être exprimé comme $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

où et pour et est égal à 1 pour . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

Cela étant dit, disons que je fais les fonctions d'équilibre suivantes

et, alors Eq1 devient $\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eq2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Question 1: Que dois-je faire avec le termes? Les polynômes sont des fonctions dealors comment puis-je même avoir une expansion comme $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ fonction X de [y]? Il semble également que je puisse les diviser de chaque côté de l'équation, alors quel était le point d'introduction de ce terme? Je veux dire, selon l'article, ce terme est censé imposer la condition aux limites quevont à zéro commeva à zéro. $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Question2: * Comment suis-je censé traiter le dans le terme . L'article donne une description de la façon de gérer les termes dérivés, mais qu'en est-il du lui-même. Suis-je censé le traiter comme une valeur d'équilibre et utiliser la règle pour des termes comme ou dois-je exprimer ce en termes de . Ou devrais-je faire autre chose? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
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Peut-être pouvez-vous créer un lien vers le document auquel vous faites référence?

— Aron Ahmadia

Salut Aron, voici le lien arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Les choses numériques avec lesquelles j'ai du mal sont décrites à l'annexe A, et l'équation que j'examinais ci-dessus est l'équation (19). Merci.

— tau1777

y

$y$

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$ (et donc de

r

$r$ ).

— Christian Clason

Je ne suis pas sûr qu'il soit possible de répondre à la question sans une lecture détaillée du document. Mais en ce qui concerne la première question, vous avez $r/R = (y+1)/2$ . Et ce facteur ne peut pas être divisé car il ne multiplie pas tous les termes.

Pour la question 2: puisque cette équation doit être utilisée pour appliquer la condition aux limites à $r=0$ , Je pense que le terme que vous mentionnez devrait disparaître.

— David Ketcheson
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