Dans quelles circonstances l'intégration de Monte-Carlo est-elle meilleure que celle de quasi-Monte-Carlo?

Une question assez simple: pour faire une intégrale multidimensionnelle, étant donné que l'on a décidé qu'une sorte de méthode de Monte Carlo est appropriée, y a-t-il un avantage qu'une intégration MC régulière utilisant des nombres pseudo-aléatoires a sur une intégration quasi-Monte Carlo utilisant une séquence quasi-aléatoire ? Si oui, comment pourrais-je reconnaître les situations où cet avantage entrerait en jeu? (Et sinon, pourquoi quelqu'un utilise-t-il une ancienne intégration Monte Carlo?)

Les simulations de Monte Carlo sont la méthode de choix pour le calcul de la diffusion d'électrons. Des astuces comme l'échantillonnage d'importance sont parfois utilisées, vous pourriez donc dire que ce n'est pas du tout vieux Monte Carlo. Mais le point principal est probablement qu'un processus intrinsèquement stochastique est simulé ici, alors que vous ne demandez que l'utilisation de Monte Carlo pour l'intégration.

Parce que personne d'autre n'a essayé d'offrir une réponse, permettez-moi d'essayer d'élargir un peu ma réponse. Supposons que nous ayons une simulation de diffusion d'électrons, où un seul nombre, comme un coefficient de rétrodiffusion, est calculé. Si nous reformulions cela comme une intégrale multidimensionnelle, ce serait probablement une intégrale de dimension infinie. En revanche, lors de la simulation d'une seule trajectoire, seul un nombre fini de nombres aléatoires est requis (ce nombre peut devenir assez important si la génération d'électrons secondaires est prise en compte). Si nous utilisions une séquence quasi aléatoire comme l'échantillonnage d'hypercube latin, nous devions utiliser une approximation avec un nombre fixe de dimensions et générer un nombre aléatoire pour chaque dimension pour chaque point d'échantillonnage.

Je pense donc que la différence est de savoir si une sorte d'hypercube d'unité de haute dimension est échantillonnée, par rapport à un nuage de probabilité de dimension infinie autour de l'origine.

Certaines de mes recherches consistent à résoudre des équations différentielles partielles stochastiques à grande échelle. Dans ce cas, l'approximation traditionnelle de Monte Carlo de l'intégrale d'intérêt converge trop lentement pour que cela en vaille la peine dans un sens pratique ... c'est-à-dire que je ne veux pas avoir à exécuter 100 fois plus de simulations juste pour obtenir une décimale plus précise à l'intégrale. Au lieu de cela, j'ai tendance à utiliser d'autres méthodes comme les grilles smolyak clairsemées car elles offrent une meilleure précision dans moins d'évaluations de fonctions. Cela n'est possible que parce que je peux assumer un certain degré de douceur dans la fonction.

Il est raisonnable de supposer que si vous vous attendez à ce que la fonction que vous intégrez ait une certaine structure (comme la fluidité), il serait préférable d'utiliser le schéma quasi-monte carlo qui l'exploite. Si vous ne pouvez vraiment pas faire beaucoup d'hypothèses sur la fonction, alors Monte Carlo est le seul outil auquel je peux penser pour le gérer.

Les avantages de l'intégration Monte-Carlo traditionnelle par rapport à l'intégration quasi-Monte Carlo sont discutés dans l'article de Kocis et Whiten ici . Ils énumèrent les raisons suivantes:

• $\mathcal{O}(\log(N)^{d}/N)$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$N$$\mathcal{O}(N^{-1/2})$$d \approx 40$$d$

• $$\mathrm{error} \le V[f]D_{N}^{*}$$ $V[f]$$f$$D_{N}^{*}$

  Malheureusement, la différence théorique liée aux séquences existantes n'est pas utilisable pour les valeurs modérées et grandes de s. L'autre option, une évaluation numérique de l'écart en étoiles d'une séquence pour les grands s, nécessite un effort de calcul excessif, et même des estimations numériques raisonnables de ces écarts sont très difficiles à obtenir.

  Avec l'intégration Monte-Carlo traditionnelle, nous pouvons spécifier un objectif d'erreur et attendre car la limite d'erreur est facilement calculable. Avec QMC, nous devons spécifier un certain nombre d'évaluations de fonctions et espérons que l'erreur est dans notre objectif. (Notez qu'il existe des techniques pour surmonter cela, comme le quasi-Monte Carlo randomisé, où plusieurs estimations quasi-Monte Carlo sont utilisées pour estimer l'erreur.)

• $\mathcal{O}(1/N^{1/2+2/d})$

• Pour que le quasi-Monte-Carlo bat le Monte-Carlo traditionnel, l'intégrande doit avoir une "faible dimension efficace". Voir l'article d'Art Owen sur ce sujet ici .