Stabilité numérique des polynômes de Zernike d'ordre supérieur

J'essaie de calculer des moments Zernike d' ordre supérieur (par exemple m=0, n=46) pour une image. Cependant, je rencontre un problème concernant le polynôme radial (voir wikipedia ). Il s'agit d'un polynôme défini sur l'intervalle [0 1]. Voir le code MATLAB ci-dessous

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

Cependant, cela se heurte évidemment à des problèmes numériques proches RHO > 0.9.

J'ai essayé de le refactoriser en polyvalpensant qu'il pourrait avoir de meilleurs algorithmes en coulisses mais cela n'a rien résolu. Le convertir en un calcul symbolique a créé le graphique souhaité, mais était incroyablement lent, même pour un graphique simple tel que montré.

Existe-t-il un moyen numériquement stable d'évaluer de tels polynômes d'ordre élevé?

Ceci est implémenté dans le script Octave suivant:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

$m = 22$$n = 112$$\rho = 0.7$

$m = 0$$n = 46$1.4e-10

Une solution possible (suggérée par @gammatester) consiste à utiliser des polynômes de Jacobi. Ceci contourne le problème de l'annulation catastrophique en ajoutant les grands coefficients polynomiaux par évaluation polynomiale «naïve».

Le polynôme radial de Zernike peut être exprimé par les polynômes de Jacobi comme suit (voir équation (6) )

Dans MATLAB cependant, l'utilisation de jacobiP(n,a,b,x)est trop lente pour les grands vecteurs / matrices de x=rho. La jacobiPfonction fait en fait partie de la boîte à outils symbolique et l'évaluation du polynôme est reportée au moteur symbolique, qui échange la vitesse contre une précision arbitraire. Une implémentation manuelle des polynômes de Jacobi est donc nécessaire.

$\alpha=m$$\beta=0$$n^*=(n-m/2)$$s$

Dans MATLAB, cela se traduit par (Jacobi p olice d ÉPARTEMENT P olynomial, ' D mise en oeuvre ouble')

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

Le polynôme radial de Zernike réel est donc (pour m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

Remarque: cette auto-réponse n'est qu'une solution pratique; n'hésitez pas à ajouter une autre réponse qui explique pourquoi cela fonctionne.