Décomposition des valeurs propres de la somme: A (symétrique) + D (diagonale)

Supposons que soit une matrice symétrique réelle et que sa décomposition en valeurs propres soit donnée. Il est facile de voir ce qui se passe avec les valeurs propres de la somme où est une constante scalaire (voir cette question ). Peut-on tirer une conclusion dans le cas général où est une matrice diagonale arbitraire? Merci. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Cordialement,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
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Vous pouvez obtenir de meilleures réponses si vous spécifiez le type de conclusions qui vous intéresse.

— David Ketcheson

@DavidKetcheson, oui, vous avez absolument raison. En fait, j'essaie de trouver un moyen efficace de calculer une séquence d'exponentielles matricielles de la forme

où

est fixe et

sont des matrices diagonales. J'espérais effectuer la décomposition des valeurs propres de

une seule fois, puis l'utiliser d'une manière ou d'une autre pour tenir compte de la correction introduite par les matrices diagonales. Malheureusement,

ne font pas la navette en général, donc

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Je vous serais reconnaissant de bien vouloir partager vos idées à ce sujet. Merci.

— Ivan

Ceci est lié à scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Réponses:

On peut dire très peu, à l' exception des généralités telles que que les valeurs propres changent continuellement avec les entrées de . $D$

Vous pouvez voir par calcul symbolique dans le cas 2 par 2 que rien de fort ne peut être attendu.

— Arnold Neumaier
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Merci pour la réponse, je savais que j'entendrais quelque chose comme ça. Puis-je vous demander de jeter un œil à mon commentaire ci-dessus.

— Ivan

la complexité du calcul d'une matrice exponentielle et celle du calcul d'une factorisation spectrale sont à peu près les mêmes. Donc non, il n'y a pas de solution simple. Ce que vous pouvez faire, cependant, au cas où vos matrices diagonales se trouvent dans un sous-espace lowD, pour calculer la partie pertinente de l'exponentielle (ou, en fait, tout ce que vous voulez calculer à partir de celle-ci) pour un certain nombre de choix spécifiques bien répartis dans votre espace des valeurs souhaitées, puis utilisez un algorithme d'interpolation pour approximer toutes les autres.

— Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu et Stanley C. Eisenstat ont étudié ce problème auparavant, voir le lien: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Cet article résout le problème de permutation de rang 1, qui ne peut pas résoudre le problème ici. Si quelqu'un rencontre le problème de permutation de rang un, cela aide.

— skyuuka
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L'ajout d'une matrice diagonale n'est pas une correction de premier rang, donc je ne sais pas comment ce document aide dans ce cas.

— Christian Clason

@ChristianClason: D'accord! Je m'en rends compte. Merci de l'avoir signalé!

— skyuuka