Métriques couramment utilisées pour quantifier l'irrégularité d'un maillage triangulaire

Disons que vous avez un maillage triangulaire sur un plan plat. Cela a été établi pour éventuellement résoudre certains problèmes de mécanique, par exemple.

Un maillage de triangles équilatéraux est le meilleur dans la mesure où les distances entre les sommets et entre les centroïdes sont les mêmes partout. Cela rend les interpolations et le calcul des gradients une tâche facile et précise. Cependant, en raison des contraintes et des circonstances, il n'est pas toujours possible de travailler sur un maillage de tous les triangles équilatéraux.

Ainsi, les questions concernent un maillage d'éléments triangulaires de forme arbitraire.

Concernant les éléments de maillage individuels . Quelles mesures sont couramment utilisées pour quantifier la dissimilarité d'un triangle générique par rapport à une forme équilatérale idéale sous-jacente?

Concernant l'ensemble du maillage . Quelles métriques sont utilisées pour quantifier l'irrégularité d'un maillage de triangles arbitraires dans l'ensemble? Ces mesures doivent indiquer à quel point le maillage est brouillé.

Merci d'avoir réfléchi.

Remarque Toutes les contributions de la communauté des éléments finis ont été grandement appréciées. Pour cette question, veuillez noter que l'intérêt est de quantifier les différences uniquement dans la géométrie (triangles arbitraires vs équilatéraux). L'effet ultérieur sur les erreurs d'interpolation et de conditionnement est hors de portée. Certes, ceux-ci peuvent être perspicaces et pertinents, ils compliquent la manipulation mathématique.

Comme @Nicoguaro et @Paul l'ont dit dans les commentaires de la question, il existe de nombreuses façons de faire ce genre de chose, et je ne sais pas s'il existe une seule "meilleure" approche.

D'après une étude critique de Jonathan Richard Shewchuck à Berkley, une réponse est:

Veuillez vous référer au document original (version 31/12/2002) pour la symbologie, la terminologie, les caractéristiques spéciales et éventuellement plus (par exemple les tétraèdres). Le chapitre 6 concerne les mesures de qualité. Le document lié à est la version étendue, et dans la page Web du JRS il y a aussi une version abrégée.

Personnellement, je suis fan de la métrique "volume-longueur". C'est un bon indicateur scalaire robuste de la qualité (isotrope) du simplexe et il est bon marché à calculer. En deux dimensions:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

où est la zone signée du triangle etest la longueur de l'arête quadratique moyenne. Les éléments idéaux atteignent , qui diminue vers zéro avec une distorsion accrue. Les éléments inversés avec une orientation inversée ont .$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Pour évaluer la qualité d'une triangulation non structurée, il est typique de regarder des histogrammes de telles métriques de qualité d'élément. Il existe de nombreuses implémentations de ces choses là - bas, mais un straight-forward MATLABcode de base est à moi est ici .

En plus des scores volume-longueur, les histogrammes des angles des éléments et du degré des sommets sont également calculés par défaut.

Je ne pense pas qu'il existe une réponse à cette question en général , car tout dépend de l'utilisation prévue du maillage. Par exemple, si vous faites de la dynamique des fluides computationnelle, vous voudrez peut-être avoir un maillage extrêmement anisotrope près de la couche limite. Maintenant, si vous faites de l'électromagnétisme informatique, le meilleur maillage sera probablement complètement différent.

Il existe dans la littérature de nombreuses définitions différentes d'un critère de "qualité de maillage". La plupart d'entre eux privilégieront les maillages avec des triangles aussi équilatéraux que possible. On peut également mentionner l'idée de maximiser le plus petit angle (qui est réalisé par triangulation de Delaunay pour un ensemble fixe de points). Cela est justifié par l'analyse de Jonathan Shewchuk mentionnée dans l'un des commentaires, qui relie cet angle avec le numéro de condition de la matrice de rigidité pour l'équation de Laplace discrétisée avec des éléments P1, mais encore une fois, selon l'utilisation prévue, le bon maillage de quelqu'un peut être quelqu'un pauvre maillage d'autre.

Je ne pense pas qu'il soit logique de "quantifier les différences uniquement dans la géométrie (triangles arbitraires vs triangles équilatéraux)": avant de mesurer si les triangles sont équilatéraux et de décider quelle "déviation par rapport à l'équilatéralité" est la meilleure, il faut déterminer si nous voulons des "triangles équilatéraux" et ce n'est pas toujours le cas! Tout vient de "l'interpolation et du conditionnement" que vous mentionnez. Oui, comme vous l'avez dit "cela complique la manipulation mathématique" mais sans cela, il n'est pas possible de faire la différence entre des critères objectifs pour une application donnée et des critères qui n'ont aucun sens.