Utilisation des cartes des séries de puissances

Je suis du domaine de la physique des accélérateurs, spécifiquement lié aux anneaux de stockage circulairespour les sources lumineuses synchrotron. Des électrons de haute énergie circulent autour de l'anneau, guidés par des champs magnétiques. Les électrons circulent des milliards de fois et on veut prédire la stabilité. Vous pouvez décrire le mouvement des électrons à un point de l'anneau en termes d'espace de phase (position, espace de moment). Chaque tour autour de l'anneau, la particule revient à une nouvelle position et un nouvel élan, ce qui définit une carte dans l'espace des phases appelée «carte à un tour». Nous pouvons supposer qu'il y a un point fixe à l'origine et qu'il peut donc être étendu dans une série de puissances. Ainsi, on veut connaître la stabilité des cartes de séries de puissance itérées. Il y a beaucoup de questions difficiles à ce sujet, et le sujet a une vieille histoire. De nombreuses bibliothèques ont été implémentées pour implémenter ce que l'on appelle l'algèbre de la série de puissance tronquée. (Voir par exemplecet article sur zlib par Y. Yan. L'approche sous forme normale, par exemple Bazzani et. Al. ici .) La question est de savoir comment utiliser une telle bibliothèque et comment résoudre le problème de stabilité. L'approche principale utilisée dans la dynamique des faisceaux a été l'analyse de forme normale, qui je ne pense pas avoir réussi. Je me demande si une sorte de méthodes spectrales ont été développées dans d'autres domaines (peut-être le long de quelque chose comme ça?). Quelqu'un peut-il penser à un autre domaine où la stabilité à long terme des cartes de séries de puissance itérées avec un point fixe à l'origine est analysée, afin que nous puissions partager des connaissances ou obtenir de nouvelles idées? Un exemple que je connais est le travail de Fishman et des "Accelerator Modes" en physique atomique. Y en a-t-il d'autres? Quels autres systèmes peuvent être modélisés comme un rotor à kick ou une carte Henon?

algorithms polynomials

— Boaz
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Je pense qu'il pourrait être utile de développer un peu votre terminologie. Par exemple, je connais tous les concepts mathématiques que vous avez mentionnés, mais je ne peux pas tout à fait visualiser ce que vous entendez dans ce contexte par «une carte de l'espace des phases». Je suis sûr que dans votre domaine particulier, cela ne nécessite aucune explication, mais les gens d'autres spécialités peuvent se rendre compte qu'ils savent réellement comment vous aider si vous expliquez un peu plus ce que vous voulez dire.

— Colin K

C'est un bon point en fait: étant donné que ce site réunira vraisemblablement des personnes de nombreuses disciplines scientifiques différentes, il sera particulièrement important de définir des termes spécifiques au domaine (ou du moins un lien vers des explications).

— David Z

D'accord, Collin et David. Merci pour les commentaires. L'espace de phase est un espace position-momentum. Pensez à une position dans l'anneau, et l'électron a une position transversale et un élan (vitesse). Après avoir contourné l'anneau une fois, il aura une nouvelle position et une nouvelle vitesse. C'est ce qu'on appelle une carte à un tour. S'il était linéaire, ce serait comme un oscillateur harmonique, qui trace une ellipse dans l'espace des phases. Dans le cas où sa circulaire, la carte aurait la forme x_1 = cos (thêta) x_0 + sin (thêta) p_0 et p_1 = -sin (thêta) x_0 + cos (thêta) p_0. Est-ce que cela clarifie?

— Boaz

J'ai ajouté quelques références à la littérature en physique des faisceaux et en calcul, et ajouté une courte définition de l'espace des phases.

— Boaz

Soit dit en passant, j'ai posé une question similaire sur Stack Exchange, Mathématiques, ici . Là, je demandais des solutions à la question de la stabilité d'un point de vue mathématique. Ici, je me demandais si le même problème existe dans d'autres sujets scientifiques, car il semble quelque peu général, mais n'a pas été connecté à beaucoup en dehors de la dynamique du faisceau. Un domaine que je connais est celui des modes accélérateurs en physique atomique. Y en a-t-il d'autres?

— Boaz

Réponses:

Vous le savez probablement déjà, mais cela ressemble à quelque chose du monde de la théorie du chaos et des fractales? (il est donc "difficile" à calculer)

A votre question, avez-vous regardé le monde de la mécanique planétaire et des problèmes de N-corps? Ceux-ci sont également obligés d'utiliser des solutions itératives, et la physique fondamentale sous-jacente est N ^ 2, bien que les sources de force soient généralement autorisées à se déplacer également - juste pour compliquer les choses.

Cela fait longtemps que je ne les ai pas regardés, mais votre mention des cartes de phase de stabilité ressemble beaucoup à Henon Maps. Je suis sûr que celles-ci doivent avoir des applications plus larges, mais elles sont généralement décrites en termes de stabilité planétaire (par exemple, la stabilité d'une seconde lune dans un système planète-lune).

— winwaed
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Oui, la carte de Henon est exactement le genre de chose que nous avons dans la dynamique du faisceau d'accélérateur. Le problème avec l'analogie avec le problème du N-corps est que l'espace y est beaucoup plus grand. L '"espace de phase" est dimensionnel 6xN, alors que pour la particule unique dans un anneau de stockage, il n'est que dimensionnel 6 dans le cas général. Je suis curieux de savoir quels autres domaines se retrouvent avec quelque chose comme une carte de Henon pour modéliser la dynamique. Le long de la route de la théorie du chaos, j'ai aussi pensé à étudier la théorie de la dynamique des populations. Merci d'avoir répondu.

— Boaz

Vous pourriez examiner le comportement asymptotique de systèmes dynamiques discrets . Il existe à la fois une riche littérature théorique sur ce sujet en mathématiques et une littérature plus appliquée en physique et informatique.

— MRocklin
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Merci Mrocklin. J'ai regardé un peu la littérature générale, et je n'ai pas trouvé de solution, ou c'était peut-être trop mathématique, et je n'ai pas trouvé le même problème posé d'une manière que je pouvais comprendre.

— Boaz

Voici quelques questions de ce domaine: (1) Formez-vous des orbites - c'est-à-dire qu'après plusieurs itérations revenez-vous au même endroit? (2) Votre système est-il sensible aux petites perturbations - c'est-à-dire que si nous démarrons un état un peu en dehors de votre état de départ, cela se terminera-t-il dans un endroit très différent? (3) Certaines sortes de perturbations agissent-elles sauvagement tandis que d'autres sont apprivoisées? Fournir des réponses à ce genre de questions peut donner un aperçu des propriétés de votre système physique.

— MRocklin

(1) Près de l'origine, la dynamique est stable et forme des orbites fermées. En sortant plus loin, on trouve parfois d'autres îlots de stabilité. Et puis encore plus loin, la dynamique est instable, c'est-à-dire sans limite. (2) Certains aspects sont sensibles et d'autres non. Les orbites stables ne sont pas si sensibles à aucune sorte de perturbation. (3) Les perturbations agissent généralement périodiquement avec une certaine fréquence. Certaines fréquences provoquent des résonances qui peuvent changer radicalement la dynamique même pour de petites perturbations. Mais savoir à l'avance quelles fréquences sont dangereuses n'est pas bien compris.

— Boaz

Il pourrait être utile d'examiner les méthodes du modèle de Taylor; cela semble être un bel article de présentation. Essayez si COSY infinity peut faire ce que vous voulez.

— Erik P.
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Merci Erik. Oui, je connais un peu COSY infinity. L'article auquel vous vous connectez semble utile pour un aperçu des méthodes d'utilisation des séries de puissance pour calculer différentes fonctions et pour trouver des limites aux erreurs, etc. comment on résout pour la région de stabilité. Je ne pense pas que les méthodes de formulaire normales puissent le faire, par exemple. Cela a été un thème influent dans la dynamique des faisceaux, mais je ne vois pas que cela a résolu le problème.

— Boaz