Quelles sont les différences entre l'estimation d'erreur «a priori» et «a posteriori» en analyse numérique?

J'ai appris la méthode des éléments finis (également un peu sur d'autres méthodes numériques) mais je ne sais pas quelle est exactement la définition de ces deux erreurs et les différences entre elles?

Les estimations d'erreur ont généralement la forme

$$\|u - u_h\| \leq C(h),$$ où $u$ est la solution exacte qui vous intéresse, $u_h$ est une solution approximative calculée, $h$ est un paramètre d'approximation que vous pouvez contrôler et $C(h)$ est une fonction de $h$ (entre autres). Dans les méthodes par éléments finis, $u$ est la solution d'une équation aux dérivées partielles et $u_h$ serait la solution par éléments finis pour un maillage de taille $h$, mais vous avez la même structure en problèmes inverses (avec le paramètre de régularisation à la place de h ) ou des méthodes itératives pour résoudre des équations ou des problèmes d'optimisation (avec l'indice d'itération k - ou plutôt 1 / k - à la place de h ) . Le but d'une telle estimation est d'aider à répondre à la question "Si je veux entrer dans, disons, 10 - 3 de la solution exacte, combien dois-je choisir h ?"$\alpha$$h$$k$$1/k$$h$$10^{-3}$$h$

La différence entre les estimations a priori et a posteriori se présente sous la forme du côté droit :$C(h)$

• Dans les estimations a priori , le côté droit dépend de (généralement explicitement) et de u , mais pas de u h . Par exemple, une estimation a priori typique pour l'approximation par éléments finis de l'équation de Poisson - Δ u = f aurait la forme ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h 2 | u | H 2 , avec une constante $h$$u$$u_h$$-\Delta u = f$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$$ $c$en fonction de la géométrie du domaine et du maillage. En principe, le côté droit peut être évalué avant de calculer (d'où le nom), vous pourrez donc choisir h avant de résoudre quoi que ce soit. En pratique, ni c ni | u | H 2 est connu ( u est ce que vous recherchez en premier lieu), mais vous pouvez parfois obtenir des estimations d'ordre ou de magnitude pour c en parcourant attentivement les preuves et pour | u | en utilisant les données $u_h$$h$$c$$|u|_{H^2}$$u$$c$$|u|$$f$(qui est connu). L'utilisation principale est une estimation qualitative - elle vous indique que si vous souhaitez réduire l'erreur d'un facteur quatre, vous devez diviser par deux .$h$

• Dans les estimations a posteriori , le côté droit dépend de et u h , mais pas de u . Une simple estimation a posteriori basée sur les résidus pour l'équation de Poisson serait ‖ u - u h ‖ L 2 ≤ c h ‖ f + Δ u h ‖ H - 1 , qui pourrait en théorie être évaluée après avoir calculé u h . En pratique, le H - $h$$u_h$$u$

  $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$$ $u_h$$H^{-1}$La norme est problématique à calculer, vous devez donc manipuler davantage le côté droit pour obtenir une limite par élément où la première somme est au-dessus des éléments K de la triangulation, h K est la taille de K , la deuxième somme est au-dessus de toutes les frontières des éléments F , et j ( ∇ u h ) dénote le saut de la dérivée normale de u h à travers F . Ceci est maintenant entièrement calculable après avoir obtenu u h , à l'exception de la constante c . Encore une fois, l'utilisation est principalement qualitative - elle vous indique quels éléments donnent une contribution d'erreur plus importante que d'autres, donc au lieu de réduire $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$$ $K$$h_K$$K$$F$$j(\nabla u_h)$$u_h$$F$$u_h$$c$$h$uniformément, il vous suffit de sélectionner certains éléments avec des contributions d'erreur importantes et de les réduire en les subdivisant. C'est la base des méthodes adaptatives par éléments finis .