observations ponctuelles et continues dans le problème inverse de la PDE

Je travaille sur un problème inverse pour mon doctorat. la recherche, qui pour simplifier, nous dirons est de déterminer dans$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

à partir de quelques observations ; k 0 est une constante et f est connu. Ceci est généralement formulé comme un problème d'optimisation pour l'extrémisation$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

où est un multiplicateur de Lagrange. La dérivée fonctionnelle de J par rapport à β peut être calculée en résolvant l'équation adjointe$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

Du fonctionnel régularisant est ajouté au problème pour les raisons habituelles.$R[\beta]$

L'hypothèse tacite ici est que les données observées sont définies en continu dans tout le domaine Ω . Je pense qu'il serait plus approprié d'utiliser mon problème à la place$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

$x_n$$\sigma_n$$n$

Cela me donne une pause parce que l'équation adjointe devient

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

$\delta$

Je ne trouve aucune comparaison de l'hypothèse de mesures continues ou ponctuelles dans des problèmes inverses dans la littérature, que ce soit par rapport au problème spécifique sur lequel je travaille ou en général. Souvent, des mesures ponctuelles sont utilisées sans aucune mention des problèmes de régularité naissante, par exemple ici . Existe-t-il des travaux publiés comparant les hypothèses des mesures continues et ponctuelles? Dois-je m'inquiéter des fonctions delta dans le cas ponctuel?

Les mesures de ce champ sont souvent des morceaux irréguliers et manquants; pourquoi interpoler pour obtenir un champ continu de fidélité douteuse si cela peut être évité?

Vous avez parfaitement raison - la plupart du temps, l'interpolation sur un champ continu couvrant tout le domaine n'est pas une option. Pensez aux problèmes de prévisions météorologiques, où les mesures (sources ponctuelles) ne sont disponibles qu'à des emplacements de domaine sélectionnés. Je dirais que les données ponctuelles sont plus la norme que l'exception lorsque l'on considère les problèmes inverses «réels».

Ma meilleure supposition est que la fonctionnelle objective devrait être définie en termes d'approximation par éléments finis de tous les champs ( discrétiser puis optimiser ), plutôt qu'en termes de champs réels, puis discrétisée après ( optimiser puis discrétiser ).

Les deux approches ne sont pas équivalentes (sauf pour des problèmes très simples). Il existe une vaste littérature comparant les deux approches (chacune avec ses avantages et ses inconvénients). Je vous pointerais vers la monographie de Max Gunzburger (en particulier la fin du chapitre 2).

Existe-t-il des travaux publiés comparant les hypothèses des mesures continues et ponctuelles? Dois-je m'inquiéter des fonctions delta dans le cas ponctuel?

Vous pouvez représenter vos termes source exactement - à savoir, votre terme source sera modélisé comme une (approximation discrète à une) distribution Dirac [ Arraya et al., 2006 ], ou vous pouvez approximer le terme source par une fonction régularisée (comme cela se fait , par exemple, dans la méthode des limites immergées ). Jetez un œil (pour commencer) à ce récent article de Hosseini et al. (et références y contenues).

Pour développer la réponse de @ GoHokies: Si vous êtes intéressé par les questions de régularité, vous pouvez également demander ce que sont réellement les "mesures ponctuelles". Dans la pratique physique, vous ne pouvez rien mesurer à un "point". Au contraire, vous obtiendrez toujours une sorte de moyenne sur une sorte de morceau d'espace-temps: un thermomètre n'est pas un point mais un objet étendu, et il faut du temps pour s'adapter à la température du milieu qui l'entoure; un appareil de mesure de concentration a besoin d'une taille d'échantillon finie; etc.

Cela signifie mathématiquement que les fonctions delta de votre fonction sont, en réalité, des moyennes sur des zones et / ou des intervalles de temps suffisamment petits. Par conséquent, les côtés droits de l'équation double sont également finis et aucun problème de régularité ne se pose.

Bien sûr, dans la pratique, vous ne pourrez généralement pas résoudre le petit espace ou les intervalles de temps sur lesquels vous mesurez avec un maillage d'éléments finis. C'est, sur des échelles de longueur , vous pouvez résoudre, le côté droit ne singulier regard, et fait par conséquent si la solution. Mais, comme vous introduisez déjà une erreur de discrétisation, vous pouvez également régulariser la fonction caractéristique du volume sur lequel vous mesurez par une approximation discrète avec le même poids; si vous le faites correctement, vous introduirez une erreur qui n'est pas plus grande que l'erreur de discrétisation, au bénéfice de recevoir une fonction du côté droit parfaitement agréable pour l'équation double (discrète).