Plus petite valeur propre sans inverse

Supposons que $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ est une matrice définie symétrique positive. $A$ est suffisamment grand pour qu'il soit coûteux de résoudre directement . $Ax=b$

Existe-t-il un algorithme itératif pour trouver la plus petite valeur propre de qui n'implique pas l'inversion de à chaque itération? $A$ $A$

Autrement dit, je devrais utiliser un algorithme itératif comme les gradients conjugués pour résoudre , donc l'application répétée de semble être une «boucle interne» coûteuse. Je n'ai besoin que d'un seul vecteur propre. $Ax=b$ $A^{-1}$

Merci!

— Justin Solomon
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Avez-vous essayé d'utiliser la décomposition Cholesky? Vous devez factoriser

avec

étant une matrice triangulaire. Une fois que vous avez la factorisation (vous ne le faites qu'une seule fois), vous pouvez l'utiliser à chaque itération pour résoudre le système très rapidement par substitution avant et arrière.

A

$A$

L L^{T}

$L L^T$

L

$L$

— Juan M. Bello-Rivas

A est-il une matrice clairsemée?

— Tolga Birdal

a une certaine structure de blocs, mais je préférerais ne pas jouer avec si je n'ai pas à le faire - alors je cherchais des "méthodes sans matrice". L'algorithme "LOBPCG" est prometteur, je pense! @Juan, la factorisation de Cholesky est encore assez chère.

A

$A$

— Justin Solomon

Si vous utilisez matlab ou octave, utilisez la eigsroutine. C'est une méthode itérative. Il existe des options pour spécifier la valeur propre que vous souhaitez, par exemple le plus petit réel .

— sebastian_g

Je comprends et utilise en effet des eigs dans matlab. Mais si vous spécifiez des options comme « sm » dans GIEs, il nécessite l'inverse de

plutôt que

. Consultez le tableau dans la documentation: mathworks.com/help/matlab/ref/eigs.html

A

$A$

A

$A$

— Justin Solomon

Calculez la valeur propre de plus grande amplitude de (avec, disons ). $\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
Calculer alors la plus grande amplitude (négative) de valeurs propres de (encore une fois, par un appel à la norme ). $\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
Observer que . La raison pour laquelle cela tient est expliquée ici . $\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Trouvez votre vecteur propre en résolvant . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
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