Comment détecter la multiplicité des valeurs propres?

Supposons que A soit une matrice générale clairsemée et que je souhaite calculer les valeurs propres. Je ne sais pas comment détecter la multiplicité des valeurs propres. Pour autant que je sache, pour un cas particulier, trouver les racines polynomiales par la méthode de la matrice compagnon, nous pouvons appliquer RRQR pour détecter la multiplicité des racines.

linear-algebra

— Willowbrook
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À proprement parler, le problème du calcul des multiplicités est mal posé, car de petites perturbations arbitraires peuvent modifier les multiplicités (généralement en les réduisant à 1). Cependant, à une certaine approximation, les travaux suivants.

$\sigma$ $A-\sigma I$ $B=(A-\sigma I)^{-1}$ $\sigma$

Si vous ne pouvez pas vous permettre une factorisation unique, vous pouvez faire des choses similaires avec une méthode de sous-espace direct, mais avec une résolution beaucoup plus faible.

— Arnold Neumaier
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L'exemple classique est la matrice de Forsythe, qui est la matrice compagnon du polynôme

x^{n} - ε

$x^n-\varepsilon$ , où

ε

$\varepsilon$ est suffisamment petit. La matrice elle-même n'est pas défectueuse, mais seule une petite perturbation est nécessaire (dans le coin supérieur droit) pour la transformer en un bloc de Jordan, qui est défectueux.

— JM