Comment échantillonner des points dans l'espace hyperbolique?

L'espace hyperbolique dans le modèle du demi-espace supérieur de Poincaré ressemble à $\Bbb R^n$ ordinaire mais avec la notion d'angle et de distance déformée d'une manière relativement simple. Dans l'espace euclidien, je peux échantillonner un point aléatoire uniformément dans une balle de plusieurs manières, par exemple en générant $n$ échantillons gaussiens indépendants pour obtenir une direction, et échantillonner séparément une coordonnée radiale $r$ en échantillonnant uniformément $s$ partir de $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ , où $R$ est le rayon et avec $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . Dans le demi-plan supérieur hyperbolique, une sphère est toujours une sphère, seul son centre ne sera pas le centre de la métrique euclidienne, nous pourrions donc faire de même.

Si nous voulons échantillonner selon une distribution non uniforme, mais toujours de manière isotrope, par exemple une distribution gaussienne, cela ne semble pas si facile. Dans l'espace euclidien, nous pourrions simplement générer un échantillon gaussien pour chaque coordonnée (cela ne fonctionne que pour la distribution gaussienne), ou générer de manière équivalente un échantillon gaussien multidimensionnel. Existe-t-il un moyen direct de convertir cet échantillon en échantillon dans l'espace hyperbolique?

Une approche alternative pourrait être de générer d'abord une direction distribuée uniformément (par exemple à partir de $n$ échantillons gaussiens) puis un échantillon gaussien pour la composante radiale, et enfin de générer l'image sous la carte exponentielle dans la direction spécifiée pour la longueur spécifiée. Une variante serait de simplement prendre l'échantillon gaussien euclidien et de le cartographier sous la carte exponentielle.

Mes questions:

quelle serait une bonne et efficace façon d'obtenir un échantillon gaussien avec une moyenne et un écart-type donnés dans l'espace hyperbolique?
les méthodes que je décris ci-dessus fournissent-elles l'échantillonnage souhaité?
quelqu'un a-t-il déjà élaboré la formule?
comment cela se généralise-t-il à d'autres métriques et à d'autres distributions de probabilités?

Merci d'avance.

ÉDITER

Je viens de réaliser que même dans le cas d'un échantillonnage uniforme, ces questions demeurent; même si une sphère est une sphère, une distribution uniforme ne serait pas décrite par une fonction constante sur une balle.

— doetoe
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@oui merci pour votre commentaire. Sur chaque espace topologique, vous avez l'algèbre de Borel sigma, générée par la topologie. Une métrique riemannienne vous donne une notion de volume. Si le volume total est fini, cela peut être normalisé pour donner une distribution de probabilité, ou plus généralement cela vous donne de manière directe des distributions de probabilité uniformes sur des ensembles mesurables de volume fini. Puisque vous avez une structure géométrique, y compris la notion de géodésiques et de longueurs d'arc, vous pouvez également définir des distributions gaussiennes par une densité de probabilité qui décroît par la distance de la même manière que dans l'espace euclidien

— doetoe

@oui Il peut être plus facile d'échantillonner autour du centre de la balle dans le modèle de balle, puis de la transporter à travers une isométrie, au moins les rotations euclidiennes et hyperboliques autour du centre coïncident. Si c'est effectivement le plus efficace, la question se réduirait à la façon d'échantillonner autour du centre dans le modèle de disque en fonction de la distribution normale pour la métrique hyperbolique.

— doetoe

Vous devriez être en mesure d'adapter le manifold Riemannian MCMC de Mark Girolami pour générer des échantillons ici. Mais c'est peut-être exagéré. Vous faites MCMC, mais vous générez des propositions en tirant des géodésiques à partir du point actuel.

— Nick Alger

@NickAlger qui semble intéressant, avez-vous un lien?

— doetoe

Voici son article principal à ce sujet. Ils transforment le problème de l'échantillonnage d'une distribution non uniforme sur un espace plat en un problème d'échantillonnage d'une distribution uniforme sur un collecteur, alors que vous commencez avec une distribution uniforme sur le collecteur. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Je suis en train de faire ça pour moi. Je pense que l'analogue le plus approprié au gaussien serait le noyau de chaleur dans l'espace hyperbolique. Heureusement, cela a déjà été compris: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (également disponible dans un Bulletin de la London Mathematical Society ).

$e^{-dist^2/constant}$

{(\frac{2}{1 - | | x | |^{2}})}^{n} d x_{1} \dots d x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Voici un échantillon uniforme pour la boule de rayon 3 centrée à l'origine:

Si vous le souhaitez, je serais heureux d'en dire plus. Je pensais juste que je mettrais cela en place, car il y avait clairement un certain intérêt pour cela, au moins dans le passé.

— Edward Chien
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Remercier! Je n'ai pas encore eu le temps d'étudier l'article aimé, mais il semble intéressant et pertinent

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

La constante pi n'est qu'une constante dans l'espace euclidien. La valeur de pi est différente dans d'autres géométries. Le paramètre pi modifie la masse de probabilité sous la gaussienne. Le paramètre pi est utilisé pour normaliser les probabilités. Je commence tout juste à étudier cela.

J'ai conclu il y a quelque temps que l'espace passe d'hyperbolique à euclidien à sphérique à mesure que le nombre de sigmas augmente. J'étais heureux de parcourir une discussion des cercles dans chaque espace et pi en fonction des espaces Lp via le paramètre p.

— David W Locke
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