Estimer la norme d'une boîte noire fonctionnelle

$V$ $\|\cdot\|$ $F : V \rightarrow \mathbb R$

Je voudrais estimer la norme de (d'en haut et d'en bas). Comme est une boîte noire, la seule façon de le faire est de le tester avec des vecteurs unitaires de et, en fonction du résultat, de trouver qui maximise. $F$ $F$ $V$ $v \in S^1 V$ $|F(v)|$

Connaissez-vous un tel algorithme? Dans l'application que j'ai en tête, est un espace d'éléments finis et est une fonction compliquée sur cet espace. $V$ $F$

EDIT: Ma première idée est de choisir au hasard, de le perturber dans plusieurs directions, disons, , puis de répéter la procédure avec le qui a obtenu le plus grand . Je ne sais pas où trouver des algorithmes et des analyses pour ce problème. $v \in S^1 V$ $v_1,\dots,v_k$ $v_i$ $F(v_i)$

linear-algebra algorithms

— shuhalo
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La norme est-elle également une boîte noire? Ou est-ce la norme habituelle pour les espaces Banach, ?

‖ \cdot ‖_{\infty}

$\|\cdot\|_\infty$

— Jack Poulson

De plus, êtes-vous intéressé par la norme dans une région (ou à un point) où la fonction a une dérivée continue?

— Jed Brown

@Jack: La norme de l'espace vectoriel est calculable, et sur un espace d'éléments finis, elle peut être calculée par la matrice de masse et la matrice de rigidité. ( -ième et dérivés -St).

0

$0$

1

$1$

— shuhalo

@Jed: est linéaire, il est donc déjà différenciable.

F

$F$

— shuhalo

Réponses:

Si votre espace est un espace de Hilbert, alors le théorème de Riesz dit que vous pouvez représenter et vous pouvez calculer comme vous le mentionnez en essayant des vecteurs unitaires. Si l'espace est de dimension supérieure, cela devient peu pratique, mais vous pouvez au moins calculer les estimations de en calculant pour une séquence de vecteurs aléatoires . $V$ $F(v)=\left< f, v \right>$ $f$ $f$ $F(v)$ $v$

— Wolfgang Bangerth
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Vous pouvez peut-être modifier l'estimateur du nombre de conditions de Hager (voir, par exemple, l'article http://eprints.ma.man.ac.uk/321/01/35608.pdf ), qui délimitelorsqu'une factorisation de est connue, pour travailler dans votre cas particulier. $\|A^{-1}\|$ $A$

— Arnold Neumaier
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