Les éléments finis

Existe-t-il des configurations de méthode par éléments finis qui fournissent des estimations d'erreur dans la norme (c'est-à-dire des limites sur )? Quelles familles d'éléments peuvent être utilisées pour les mettre en œuvre?$W^{1,\infty}$$\|u'_h - u'\|_\infty$

( Crossposted de MathOverflow, où il a rencontré peu d'intérêt, mais probablement ici je peux trouver plus de personnes avec un fond FEM.)

Le chapitre 8 de la théorie mathématique des méthodes des éléments finis de Brenner et Scott est consacré à ce sujet. En particulier, le théorème 8.1.11 et le corollaire vous donnent que

$\|u - u_h\|_{W^1_\infty} \le C h^{k - 1}\|u\|_{W^k_\infty}$

pour les problèmes elliptiques linéaires avec des coefficients suffisamment lisses, à condition que l'espace des éléments finis satisfasse d'autres inégalités. Ils le laissent comme un exercice (typique) pour vérifier que cela s'applique aux éléments habituels de Lagrange, Hermite et Argyris.

Si vous voulez aller au-delà de l'équation standard de Laplace, Alan Demlow (à la Texas A&M University) a dérivé des estimations.