Évaluation d'intégrales oscillatoires avec de nombreuses périodes indépendantes et sans formes fermées

La plupart des méthodes d'intégrales oscillantes que je connais traitent d'intégrales de la forme où est grand.

\int f (x) e^{i ω x} d x

$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$

ω

$\omega$

Si j'ai une intégrale de la forme où sont des fonctions oscillatoires dont les racines ne sont connues qu'approximativement, mais une sorte de forme asymptotique est connue, avec des fréquences toutes différentes (et linéairement indépendantes) , alors comment puis-je évaluer cette intégrale?

\int f (x) g_{1} (x) \dots g_{n} (x) d x,

$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$

g_{k}

$g_k$

g_{k} (x) \sim e^{i ω_{k} x}

$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$

ω_{k}

$\omega_k$

Q

$\mathbb{Q}$

Contrairement au cas de , les intégrales polynomiales ne sont pas connues, donc je ne peux pas construire un ensemble d'interpolants polynomiaux pour et intégrer exactement les interpolants. $e^{i\omega x}$ $\int x^a \prod g_k(x)$ $f(x)$

$g_k$ $J_0(\omega_k x)$ $f(x)=x^\alpha$ $[0,\infty)$ $[x_{k-1},x_k]$ $M$ $g_k(x)$ $x$ $n$ $g_1\ldots g_n$ $r$ $r^n$ $n$

Les réponses, suggestions et références heuristiques non rigoureuses sont les bienvenues.

quadrature

— Kirill
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Réponses:

J'ai travaillé sur des intégrales plus simples où il y a des points de phase stationnaire. J'ai trouvé deux méthodes qui fonctionnent assez bien.

L'une consiste à introduire un facteur d'amortissement exponentiel qui dépend de la fonction de phase, une sorte de viscosité artificielle si vous le souhaitez.

Une autre technique (où il y a plusieurs points de phase statistique) a été décrite dans:

Tuck, EO, Collins, JL et Wells, WH, "Sur les vagues des navires et leurs spectres", Journal of Ship Research, pp. 11-21, 1971.

Cette méthode applique des facteurs de décroissance exponentielle à l'intégrande où il devient rapidement oscillant loin de la statistique. phase, mais laisse l'intégrande intacte là où elle n'est pas.

C'est moi à court d'idées!

— Lysistrata
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Merci, mais je ne vois pas très bien comment cela fonctionnerait dans ce cas. D'une part, il n'y a pas de points de phase stationnaire sur la ligne réelle, et les contributions des oscillations sont importantes pour la valeur finale, donc ne doivent pas être amorties.

— Kirill

Tant que vous avez des valeurs précises pour les racines (ou extrema) de la partie oscillante de votre intégrande, la méthode de Longman (comme je l'ai décrit dans cette réponse ) reste applicable. Tout ce que vous avez à faire est d'évaluer un tas d'intégrales avec des intervalles entre les racines en utilisant votre méthode de quadrature préférée, et de traiter ces intégrales comme les termes de certaines séries alternées. Vous pouvez ensuite utiliser n'importe quel nombre de méthodes d'accélération de convergence (Euler, Levin, Weniger, etc.) pour «additionner» cette série alternée.

À titre d'exemple, dans cette réponse math.SE , j'ai évalué une intégrale infinie dont la partie oscillante est le produit de deux fonctions de Bessel.

— JM
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Ne serait-il pas important que les racines soient espacées de manière irrégulière (toutes les périodes sont irrationnelles et indépendantes)? Pourquoi feriez-vous confiance à l'accélération de la convergence pour une séquence aussi irrégulière?

— Kirill

C'était il y a quelque temps, je voulais évaluer l'intégrale à mille chiffres et si je me souviens bien, la quadrature oscillatoire était en fait la première chose que j'ai essayée. Je ne me souviens pas des résultats, mais je ne pense pas que cela fonctionnait bien à l'époque.

— Kirill

"Pourquoi feriez-vous confiance à l'accélération de la convergence pour une séquence aussi irrégulière?" - Je ne ferais pas confiance à un seul accélérateur, tho. Mais, si au moins trois accélérateurs différents me donnent des résultats cohérents, je pense que les chiffres que j'ai obtenus sont au moins plausibles. FWIW, j'ai utilisé Longman pour des intégrales infinies de produits de fonctions Bessel, et je n'ai jamais été déçu, surtout lorsque j'utilise la transformation de Weniger comme accélérateur.

— JM

x^{a} e^{b x}

$x^a e^{b x}$

Si vous pouvez faire une expansion de Fourier (généralisée), alors bien sûr.

— JM