Calcul du polynôme caractéristique d'une matrice réelle clairsemée

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Étant donné une matrice générique clairsemée avec ~~m << n~~ (correction: ) éléments non nuls (typiquement ). est générique dans le sens où il n'a pas de propriétés spécifiques (par exemple, un caractère définitif positif), et aucune structure (par exemple, des bandes) n'est supposée. $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ $m \ll n^2$ $m \in {\cal O}(n)$ $A$

Quelles sont les bonnes méthodes numériques pour calculer le polynôme caractéristique ou le polynôme minimal de ? $A$

linear-algebra algorithms sparse-matrix

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On dirait que vous voulez calculer toutes les valeurs propres. Pourquoi voulez-vous le polynôme et comment voulez-vous qu'il soit exprimé? La base monomiale est extrêmement mal conditionnée, de sorte que les coefficients ne peuvent probablement pas être calculés de manière stable en arithmétique de précision finie.

— Jed Brown

@JedBrown plus d'une contemplation. Dans ma réponse à cette question, j'ai donné une méthode algébrique pour inverser une matrice, qui est bien connue en algèbre informatique (par exemple, des matrices sur des anneaux et des champs commutatifs). Je veux savoir si je pourrais l'utiliser pour des matrices numériques. Veuillez noter que, pour cette question, je m'intéresse aux méthodes numériques pour trouver le polynôme caractéristique / minimal plutôt qu'inverse.

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Si la complexité n'est pas un bouchon, vous voudrez peut-être regarder la méthode Danilevskii. C'est assez bien connu dans la littérature russe sur l'algèbre linéaire numérique, mais il n'y a pas beaucoup d'informations en anglais. Vous pouvez commencer à partir de ce lien . $O(n^3)$

L'idée est assez simple: la matrice est progressivement réduite à la forme normale de Frobenius par des transformations de similarité "de type élimination gaussienne". Si vous ne trouvez pas les informations, je peux rendre l'algorithme plus élaboré.

— faleichik
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Vous pouvez utiliser une méthode numérique comme la factorisation QR ou la méthode d'alimentation et ses agents immobiliers (puissance inverse, etc.) pour calculer les valeurs propres de votre matrice générique. Après cela, vous pouvez calculer votre polynôme caractéristique par factorisation comme: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 où λi sont les valeurs propres calculées. Voici une courte présentation sur la puissance et les méthodes QR:

QR-Power

— chemeng
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$m \ll O(n^2)$ $m \ll O(n)$ $n$ $O(m)$

— Wolfgang Bangerth
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m ≪ n^{2},

$m \ll n^2,$

m \in O (n)

$m \in {\cal O}(n)$