Tester si une matrice est semi-définie positive

J'ai une liste ${\cal L}$ de matrices symétriques dont j'ai besoin pour vérifier la semi-définition positive (c'est-à-dire que leurs valeurs propres ne sont pas négatives.)

Le commentaire ci-dessus implique que l'on pourrait le faire en calculant les valeurs propres respectives et en vérifiant si elles ne sont pas négatives (peut-être en prenant soin des erreurs d'arrondi.)

Le calcul des valeurs propres est assez cher dans mon scénario, mais j'ai remarqué que la bibliothèque que j'utilise a un test assez rapide pour la précision positive (c'est-à-dire, si les valeurs propres d'une matrice sont strictement positives.)

D'où l'idée serait que, étant donné une matrice $B \in {\cal L}$ , on teste si $B + \epsilon I$ est défini positif. Si ce n'est pas le cas, $B$ n'est pas semi-défini positif, sinon on peut calculer les valeurs propres de $B$ pour s'assurer qu'il est bien semi-défini positif.

Ma question est maintenant:

Existe-t-il un moyen plus direct et plus efficace de vérifier si une matrice est semi-définie positive, à condition qu'un test efficace de précision positive soit donné?

Quelle est votre définition de travail de "semi-définie positive" ou "définie positive"? Dans l'arithmétique à virgule flottante, vous devrez spécifier une sorte de tolérance pour cela.

$A$$\lambda=-1.0$$10^{30}$$\lambda=-1.0$

λ $-\epsilon \left| \lambda_{\max} \right|$$\lambda_{\max}$

Malheureusement, le calcul de toutes les valeurs propres d'une matrice prend beaucoup de temps. Une autre approche couramment utilisée est qu'une matrice symétrique est considérée comme définie positive si la matrice a une factorisation de Cholesky en arithmétique à virgule flottante. Le calcul de la factorisation de Cholesky est un ordre de grandeur plus rapide que le calcul des valeurs propres. Vous pouvez l'étendre à la semi-finesse positive en ajoutant un petit multiple de l'identité à la matrice. Encore une fois, il y a des problèmes de mise à l'échelle. Une approche rapide consiste à faire une mise à l'échelle symétrique de la matrice de sorte que les éléments diagonaux soient 1.0 et ajouter à la diagonale avant de calculer la factorisation de Cholesky. $\epsilon$

Vous devez cependant faire attention à cela, car il y a des problèmes avec l'approche. Par exemple, il y a des circonstances où les et sont définis positifs dans le sens où ils ont des factorisations de Cholesky à virgule flottante, mais n'a pas de factorisation de Cholesky. Ainsi, l'ensemble des "matrices définies positives factorisables à virgule flottante" n'est pas convexe! B ( A + B ) /$A$$B$$(A+B)/2$

• Kerr, TH, « Testing Matrices for Definiteness and Application Exemples that Spawing the Need », AIAA Journal of Guidance , Control, and Dynamics, Vol. 10, n ° 5, p. 503-506, sept.-oct., 1987.

• Kerr, TH, « On Misstatements of the Test for Positive Semidefinite Matrices », AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics , Vol. 13, n ° 3, pp. 571-572, mai-juin. 1990. (comme cela s'est produit dans les logiciels de navigation et de suivi des cibles dans les années 1970 et 1980 en utilisant des contre-exemples)

• Kerr, TH, « Fallacies in Computational Testing of Matrix Positive Definiteness / Semidefiniteness », IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems , vol. 26, n ° 2, pp. 415-421, mars 1990. [Répertorie les algorithmes fallacieux que l'auteur a régulièrement trouvés dans les logiciels de navigation sous-marine et de bouées acoustiques de l'US Navy à la fin des années 1970 et au début des années 1980 en utilisant des contre-exemples pour signaler les problèmes. ]