Implémentation de la méthode Jacobi-Davidson pour le problème des valeurs propres cubiques

J'ai un gros problème de valeur propre cubique:

({UNE}_{0} + λ {UNE}_{1} + λ^{2} {UNE}_{2} + λ^{3} {UNE}_{3}) X = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Je pourrais résoudre cela en convertissant en un problème de valeur propre linéaire mais cela résulterait en un système aussi grand: $3^2$

[\begin{matrix} - {UNE}_{0} & 0 & 0 \\ 0 & je & 0 \\ 0 & 0 & je \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} {UNE}_{1} & {UNE}_{2} & {UNE}_{3} \\ je & 0 & 0 \\ 0 & je & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

où et . Quelles autres techniques sont disponibles pour résoudre un problème de valeur propre cubique? J'ai entendu dire qu'il existe une version de Jacobi-Davidson qui le résoudra, mais je n'ai pas trouvé d'implémentation. $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$

De plus, je dois être capable de cibler des valeurs propres spécifiques de manière similaire à la méthode shift-and-invert d'ARPACK et de trouver les vecteurs propres associés.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
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Quelles sont les dimensions des matrices impliquées?

— Bill Barth

est commandé

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

10000 \times 10000

$10000\times 10000$ . J'ai deux formulations différentes de ce problème, l'une dans laquelle

est dense et l'autre est clairsemée.

A_{i}

$\mathbf{A}_i$

— OSE

SLEPc a des routines pour les problèmes de valeurs propres quadratiques et les problèmes de valeurs propres non linéaires, vous pourrez donc peut-être trouver ce dont vous avez besoin. Il dispose également de fonctions de décalage et d'inversion et d'une interface avec ARPACK.

— Geoff Oxberry

Avec le protocole de communication inverse d'ARPACK, vous n'avez pas besoin de stocker explicitement la matrice : il vous suffit de fournir deux fonctions qui calculent: $3n \times 3n$

et $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(vous payez toujours le prix du stockage du $3\times n$ vecteurs dimensions mais vous ne payez rien pour les matrices).

$x \mapsto M^{-1} x$ $x \mapsto M x$ $\lambda's$ $\lambda^{-1}$ $M^{-1}x$ $M$ $A_0$

— BrunoLevy
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