J'ai une notion très basique sur l'arithmétique d'intervalle (IA), mais cela semble être une branche très intéressante de la science informatique à la fois théoriquement et pratiquement. Il est clair que les applications évidentes sont l'informatique vérifiée et les problèmes mal posés, mais c'est trop abstrait. Puisqu'il y a beaucoup de gens impliqués dans les calculs appliqués ici, je suis curieux de connaître les problèmes du monde réel qui sont difficiles ou impossibles à résoudre sans IA .
Réponses:
Cette réponse répond en partie au commentaire de JackPoulson (car elle est longue) et répond en partie à la question.
L'arithmétique d'intervalle est une procédure de calcul pour donner des limites rigoureuses sur des quantités calculées, uniquement en ce sens que l'extension d'intervalle d'une fonction à valeur réelle sur un intervalle entoure l'image de cette fonction sur le même intervalle. Sans calculer quoi que ce soit, l'arithmétique des intervalles ne peut pas vous donner une idée des facteurs qui influencent l'erreur numérique dans un calcul, alors que les théorèmes du livre de Higham et d'autres vous donnent un aperçu des facteurs qui influencent l'erreur numérique, au prix de limites potentiellement faibles. Certes, les limites obtenues à l'aide de l'arithmétique d'intervalle peuvent également être faibles, en raison du soi-disant problème de dépendance , mais parfois elles sont beaucoup plus fortes. Par exemple, les limites d'intervalle obtenues à l'aide du package d'intégration COZY Infinitysont beaucoup plus strictes que les types de limites d'erreur que vous obtiendriez sur l'intégration numérique à partir des résultats de Dahlquist (voir Hairer, Wanner et Nørsett pour plus de détails); ces résultats (je me réfère en particulier aux théorèmes 10.2 et 10.6 de la partie I) donnent un meilleur aperçu des sources d'erreur, mais les limites sont faibles, tandis que les limites utilisant COSY peuvent être serrées. (Ils utilisent plusieurs astuces pour atténuer les problèmes de dépendance.)
J'hésite à utiliser le mot «preuve» pour décrire ce que fait l'arithmétique d'intervalle. Il existe des preuves impliquant l'arithmétique d'intervalle, mais le calcul des résultats en utilisant l'arithmétique d'intervalle avec arrondi vers l'extérieur n'est vraiment qu'un moyen de comptabilité pour délimiter de manière conservatrice la plage d'une fonction. Les calculs arithmétiques d'intervalles ne sont pas des preuves; ils sont un moyen de propager l'incertitude.
En ce qui concerne les applications, en plus des travaux de Stadtherr en génie chimique, l'arithmétique des intervalles a également été utilisée pour calculer les limites des expériences de faisceau de particules (voir les travaux de Makino et Berz, liés au site Web COSY Infinity), ils ont été utilisé dans l'optimisation globale et les applications de conception en génie chimique (entre autres) par Barton (le lien est vers une liste de publications), la conception de vaisseaux spatiaux et l'optimisation globale (entre autres) par Neumaier (encore une fois, le lien est vers une liste de publications ), l'optimisation globale et les solveurs d'équations non linéaires par Kearfott (une autre liste de publications), et pour la quantification de l'incertitude (diverses sources; Barton est l'une d'entre elles).
Enfin, un avertissement: Barton est l'un de mes conseillers de thèse.
L'arithmétique des intervalles vous donne une preuve avec une rigueur mathématique.
De bons exemples d'applications réelles sont les travaux de Mark Stadtherr et de son groupe de recherche. En particulier, les calculs d'équilibre de phase et de stabilité sont résolus avec succès avec des méthodes d'intervalles.
Une belle collection de références, en référence à leur arrière-plan physique, se trouve sur le site Web d'ALIAS .
Une autre caractéristique de l'arithmétique d'intervalle et de ses généralisations est qu'elle permet une exploration adaptative du domaine d'une fonction. Il peut ainsi être utilisé pour la modélisation géométrique adaptative, le traitement et le rendu, juste pour prendre des exemples de l'infographie.
Les méthodes d'intervalle ont figuré dans certaines preuves récentes de théorèmes mathématiques durs tels que l'existence du chaos dans l'attracteur de Lorenz et la conjecture de Kepler. Voir http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf pour ces applications et d'autres.
L'arithmétique d'intervalle est très utile pour les algorithmes géométriques. De tels algorithmes géométriques prennent en entrée un ensemble d'objets géométriques (par exemple un ensemble de points) et construisent une structure de données combinatoire (par exemple une triangulation) basée sur des relations spatiales entre les points. Ces algorithmes dépendent d'un petit nombre de fonctions, appelées «prédicats», qui prennent en entrée un nombre fixe d'objets géométriques et renvoient une valeur discrète (généralement l'une de «au-dessus, aligné, en-dessous»). De tels prédicats correspondent généralement au signe d'un déterminant des coordonnées du point.
L'utilisation de nombres à virgule flottante standard n'est pas suffisante, car elle peut échouer à calculer avec précision le signe du déterminant, et pire encore, renvoyer des résultats incohérents (c'est-à-dire dire que A est supérieur à B ET B est supérieur à A, ce qui fait que l'algorithme crée un désordre au lieu d'un maillage!). L'utilisation systématique de la multi-précision (comme dans la bibliothèque Gnu Multi-Precision et son extension MPFR aux nombres à virgule flottante multi-précision) fonctionne mais entraîne une baisse significative des performances. Lorsque le prédicat géométrique est le signe de quelque chose (comme dans la plupart des cas), l'utilisation de l'arithmétique d'intervalle permet de faire un calcul plus rapide, puis de lancer le calcul multi-précision plus étendu si zéro est dans l'intervalle.
Une telle approche est utilisée dans plusieurs grands codes de géométrie de calcul (par exemple CGAL).