Comment fonctionne la notation bra-ket?

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Les algorithmes quantiques utilisent fréquemment la notation bra-ket dans leur description. Que signifient tous ces supports et lignes verticales? Par exemple: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Bien qu'il s'agisse sans doute d'une question de mathématiques, ce type de notation semble être utilisé fréquemment lorsqu'il s'agit spécifiquement de calcul quantique. Je ne suis pas sûr de l'avoir jamais vu utilisé dans d'autres contextes.

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Par la dernière partie, je veux dire qu'il est possible de désigner des vecteurs et des produits internes en utilisant la notation standard pour l'algèbre linéaire, et certains autres champs qui utilisent ces objets et opérateurs le font sans utiliser la notation bra-ket.

Cela m'amène à conclure qu'il y a une différence / raison pour laquelle bra-ket est particulièrement pratique pour désigner les algorithmes quantiques. Ce n'est pas une affirmation de fait, je le pensais comme une observation. "Je ne suis pas sûr de l'avoir vu utilisé ailleurs" n'est pas la même affirmation que "Il n'est utilisé dans aucun autre contexte".

notation

— Ella Rose
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Connexe: Comment

T E X

$\TeX$ notation

bra-ket sur Meta.

— Nat

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Comme déjà expliqué par d'autres, un ket n'est qu'un vecteur. Un soutien-gorgeest le conjugué hermitien du vecteur. Vous pouvez multiplier un vecteur par un nombre de la manière habituelle. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Vient maintenant la partie amusante: vous pouvez écrire le produit scalaire de deux vecteurs et as . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

Vous pouvez appliquer un opérateur au vecteur (en dimensions finies, ce n'est qu'une multiplication matricielle) . $X\left|\psi\right>$

Dans l'ensemble, la notation est très pratique et intuitive. Pour plus d'informations, consultez l'article Wikipedia ou un manuel sur la mécanique quantique.

— jknappen - Réintégrer Monica
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"bra est un conjugué hermitien." Qu'est-ce qu'un conjugué hermitien d'un vecteur? Et n'est-il que le produit intérieur des vecteurs et ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— develarist

Il existe deux types de vecteurs, les vecteurs de colonne et les vecteurs de ligne. Le conjugué hermitien d'un vecteur colonne est un vecteur ligne avec des éléments conjugués complexes, et vice versa.

— jknappen

éléments conjugués complexes?

— develarist

Éléments comme dans les éléments matriciels. Vous pouvez également utiliser le terme «composants» qui est plus courant lorsque vous parlez de vecteurs.

— jknappen

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Oui, est le produit intérieur , mais l'espace vectoriel est complexe, donc la formule est , notez la dague pour le conjugué hermitien, ce n'est pas seulement la transposition.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen

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Vous pourriez penser que et sont deux états de base orthonormés (représentés par des "ket") d'un bit quantique qui réside dans un espace vectoriel complexe à deux dimensions. Les lignes et les crochets que vous voyez sont fondamentalement la notation bra-ket aka notation Dirac qui est couramment utilisée en mécanique quantique. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Par exemple, pourrait représenter l'état de rotation d'un électron tandis que pourrait représenter l'état de rotation. Mais en réalité l'électron peut être dans une superposition linéaire de ces deux états, c'est-à-dire (ceci est généralement normalisé comme ) où . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Sanchayan Dutta
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Que signifient tous ces supports et lignes verticales?

La notation signifie exactement la même chose que ou , c'est-à-dire qu'elle désigne un vecteur dont le nom est "v". C'est ça. Il n'y a plus de mystère ou de magie du tout. Le symbole désigne un vecteur appelé "psi". $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

Le symbole est appelé "ket", mais il pourrait tout aussi bien (et à mon avis devrait) être appelé "vecteur" sans aucune perte de sens. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Bien qu'il s'agisse sans doute d'une question de mathématiques, ce type de notation semble être utilisé fréquemment lorsqu'il s'agit spécifiquement de calcul quantique. Je ne suis pas sûr de l'avoir jamais vu utilisé dans d'autres contextes.

La notation a été inventée par un physicien ( Paul Dirac ) et s'appelle "notation Dirac" ou "notation bra-ket" . Pour autant que je sache, Dirac l'a probablement inventé en étudiant la mécanique quantique, et donc historiquement, la notation a été principalement utilisée pour désigner les vecteurs qui apparaissent dans la mécanique quantique, c'est-à-dire les états quantiques. La notation Bra-ket est la norme dans tout contexte de mécanique quantique, pas seulement le calcul quantique. Par exemple, l' équation de Schrodinger , qui a à voir avec la dynamique dans les systèmes quantiques et est antérieure au calcul quantique par décennies, est écrite en utilisant la notation bra-ket.

De plus, la notation est assez pratique dans d'autres contextes d'algèbre linéaire et est utilisée en dehors de la mécanique quantique.

— DanielSank
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Cela m'amène à conclure qu'il y a une différence / raison pour laquelle bra-ket est particulièrement pratique pour désigner les algorithmes quantiques.

Il y a déjà une réponse acceptée et une réponse qui explique «ket», «bra» et la notation du produit scalaire.

Je vais essayer d'ajouter un peu plus à l'entrée en surbrillance. Qu'est-ce qui en fait une notation utile / pratique?

La première chose pour laquelle la notation bra-ket est vraiment utilisée est de désigner très simplement les vecteurs propres d'un opérateur (généralement hermitien) associés à une valeur propre. Supposons que nous ayons une équation de valeur propre , cela peut être noté , et probablement une étiquette supplémentaire si il y a une certaine dégénérescence . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Vous voyez que cela est utilisé partout dans la mécanique quantique, les états propres de momentum ont tendance à être étiquetés comme ou selon les unités, ou avec plusieurs états de particules ; représentation du numéro d'occupation pour les systèmes de Bose et de fermi plusieurs systèmes de corps ; une demi-particule de spin prenant les états propres habituellement de l' opérateur , écrite parfois comme et ou et , etc. comme raccourci pour $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; les harmoniques sphériques en tant que fonctions propres des fonctions et sont commodément écrites comme avec et $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Donc, la commodité de la notation est une chose, mais il y a aussi une sorte de sentiment "lego" pour les manipulations algébriques avec la notation dirac, prenez par exemple l' opérateur demi-rotation en notation dirac comme , agissant sur un état comme on fait simplement $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

depuis et . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Qu'est-ce qui le rend pratique pour les algorithmes quantiques?

Disons que nous avons un système à deux niveaux approprié pour un qubit; cela forme un espace vectoriel complexe bidimensionnel disons dont la base est notée et . Lorsque nous considérons par exemple qubits de cette forme, les états du système vivent dans un espace plus grand, l'espace produit tensoriel, . La notation Dirac peut être plutôt pratique ici, les états de base seront étiquetés par des chaînes de uns et de zéros et l'un dénote généralement un état, par exemple , et disons que nous avons un opérateur de flip qui échange $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ sur le ème bit, cela peut agir assez simplement sur les chaînes ci-dessus, par exemple , et prendre une somme d'opérateurs ou agir sur un la superposition des États fonctionne tout aussi simplement. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Légère prudence: un état écrit comme ne signifie pas toujours , par exemple lorsque vous avez deux fermions identiques avec les fonctions d'onde disent et , avec des étiquettes indexant un ensemble de base, alors on pourrait écrire l'état déterminant du slater des fermions dans un raccourci comme ou même . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— snulty
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La notation ket signifie un vecteur dans l'espace vectoriel dans lequel nous travaillons, comme l'espace de toutes les combinaisons linéaires complexes des huit chaînes de 3 bits , , , etc. , comme nous pourrions utiliser pour représenter les états d'un ordinateur quantique. Un fioritures signifie exactement la même chose - la notation ket est utile en partie pour souligner que, par exemple, est un élément de l'espace vectoriel d'intérêt, et en partie pour sa gentillesse en combinaison avec le notation de soutien-gorge . $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

La notation de soutien-gorgesignifie le vecteur double ou le convecteur - une carte fonctionnelle linéaire ou linéaire des vecteurs aux scalaires, dont la valeur à un vecteur est le produit intérieur de avec , écrit de manière lisible . Ici, nous supposons l'existence d'un produit interne, qui n'est pas une donnée dans des espaces vectoriels arbitraires, mais en physique quantique, nous travaillons généralement dans des espaces de Hilbert qui, par définition, ont un produit interne. Le dual d'un vecteur est parfois aussi appelé sa transposition (hermitienne) $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , car dans la représentation matricielle, un vecteur correspond à une colonne et un covecteur correspond à une ligne, et lorsque vous multipliez vous obtenez un scalaire. (La partie hermitienne signifie qu'en plus de transposer la matrice, nous prenons le conjugué complexe de ses entrées - ce qui est vraiment juste de transposer davantage la représentation de la matrice du complexe numéro .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Lorsqu'il est écrit dans l'autre sens,, vous obtenez le produit externe de avec , défini comme la transformation linéaire de l'espace vectoriel à lui-même donnée par . Autrement dit, étant donné un vecteur , il met à l'échelle le vecteur par le scalaire donné par le produit intérieur . Les opérations en question étant associatives, on peut supprimer les parenthèses et écrire sans ambiguïté $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Les opérations impliquées ne sont toutefois pas commutatives en général: inverser l'ordre donne le conjugué complexe , en remplaçant par . Il peut également y avoir d'autres transformations des espaces impliqués dans le mélange, comme , qui peuvent être lues de manière équivalente comme la précomposition de la fonction linéairepar la transformation linéaire , appliquée au vecteur

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ , ou comme évaluation de la fonction linéairele vecteur obtenu en transformant par la transformation linéaire .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

La notation est utilisée principalement en physique quantique; les mathématiciens ont tendance à écrire simplement là où les physiciens pourraient écrire ; pour le covecteur; soit ou pour le produit interne; et pour ce que les physiciens notent par . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Squeamish Ossifrage
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