Pourquoi un qubit enchevêtré est-il montré à l'origine d'une sphère de Bloch?

Je ne comprends pas pourquoi la représentation de la sphère de Bloch d'un qubit enchevêtré au maximum montre l'état du bit comme étant à l'origine de la sphère.

Par exemple, cette illustration

montre l'effet du circuit simple

au fil du temps, avec $q_0$ à gauche et $q_1$ à droite. Les deux qubits se retrouvent à l'origine de leurs sphères respectives après l'application de $CNOT$ ( $q_1$ "attend" à sa valeur initiale jusqu'à ce que $H$ se déplace $q_1$ à $x$ ).

Pourquoi un qubit enchevêtré au maximum est-il montré à l'origine d'une sphère de Bloch?

Une explication en quelque sorte est fournie ici , mais je suis trop débutant pour la suivre.

entanglement bloch-sphere

— orome
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C'est une bonne question avec de bonnes réponses. Un formalisme de trace partielle et de matrice de densité est nécessaire pour comprendre les réponses. Sans ces outils, nous ne pouvons fournir que la description la plus superficielle de ce qui se passe.

— psitae

Réponses:

La sphère Bloch ne représente que l'état d'un qubit unique. Ce dont vous parlez, c'est de prendre un état à plusieurs qubits et de représenter l'état d'un seul de ces qubits sur la sphère Bloch.

Si l'état multi-qubit est un état produit (pur et séparable), alors l'état du qubit unique est un état pur et est représenté comme un point sur la surface de la sphère Bloch. Si l'état global est enchevêtré, alors le qubit individuel n'est pas pur et est représenté par un point situé à l'intérieur de la sphère de Bloch. Plus la distance au centre est courte, plus le qubit individuel est mélangé, et donc plus l'état global est intriqué. L'état enchevêtré maximal donne la distance la plus courte possible, c'est-à-dire le point au centre de la sphère. La réponse d'AHussain vous donne les mathématiques sur la façon de calculer formellement cela.

— DaftWullie
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Ces réponses sont utiles, mais pas tout à fait au niveau que je recherche, qui est à la fois très basique (les opérateurs de densité me rendent encore un peu mal à l'aise) et de niveau supérieur, à savoir: pourquoi représenter l'intrication comme une distance du centre de la sphère ? Y a-t-il une raison naturelle ou impérieuse de le faire? découle-t-il d'autre chose bien établi ou fondamental?

— orome

Permettez-moi de répéter, la sphère Bloch ne représente pas l' intrication. Il représente l'état d'un qubit. Si ce qubit fait partie d'un état pur à deux qubit, alors la mesure dans laquelle un qubit n'est pas dans un état de produit est la mesure dans laquelle il est enchevêtré. Mais, fondamentalement, c'est une propriété des opérateurs de densité pour les qubits uniques. Vous ne pouvez pas vous en cacher.

— DaftWullie

Voici le point crucial, je pense: "alors la mesure dans laquelle un qubit n'est pas dans un état de produit est la mesure dans laquelle il est enchevêtré". Cela fournit le rationnel que je cherchais.

— orome

$(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

L'état associé à ce point est

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (I_{2} + x σ_{x} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & x - i y \\ x + i y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$

$(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - i 0 \\ 0 + i 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

C'est l'état au maximum mélangé.

Ce qui est affiché est l'état pour seulement 1 qubit. C'est le résultat après avoir pris une trace partielle sur l'autre qubit.

$q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

Ensuite, il passe à

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

Mais après le CNOT c'est

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$ ou plusieurs qubits. Ne prenez pas trop au sérieux ce paramétrage particulier, il nous permet simplement de tracer l'état de manière à transmettre rapidement l'information visuellement.

— AHusain
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Voir mon commentaire sur la réponse de DaftWullie.

— orome

Édité pour dire comment ce n'est pas fondamental.

— AHusain

Vous dites que cela ne fonctionne pas aussi bien pour d ≠ 2, mais la visualisation semble toujours être couramment utilisée pour les plus grandes dimensions .

— orome

Ce qu'ils font est comme ce circuit, ils montrent chaque qubit après avoir retracé les autres. Tout comme avec ce circuit montrant 2 sphères. Ce que je disais, c'est d'essayer de visualiser les matrices de densité d par d pour l'ensemble du système. Ils deviennent trop gros et compliqués à dessiner.

— AHusain