Matrices unitaires approximatives

J'ai actuellement 2 matrices unitaires que je veux approcher avec une bonne précision avec le moins de portes quantiques possibles.

Dans mon cas, les deux matrices sont:

La racine carrée de la porte NOT (jusqu'à une phase globale) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

Ma question est la suivante:

Comment puis-je approximer ces matrices spécifiques avec le moins de portes quantiques possibles et avec une bonne précision?

Ce que je veux avoir, je peux me le permettre:

Je peux me permettre d'utiliser plusieurs jours / semaines de temps processeur et beaucoup de RAM.
Je peux me permettre de passer 1 ou 2 jours humains à chercher des astuces mathématiques (en dernier recours, c'est pourquoi je demande ici en premier). Ce temps n'inclut pas le temps dont j'aurais besoin pour implémenter les algorithmes hypothétiques utilisés pour le premier point.
Je veux que la décomposition soit presque exacte. Je n'ai pas de précision cible pour le moment, mais les 2 portes ci-dessus sont largement utilisées par mon circuit et je ne veux pas que les erreurs s'accumulent trop.
Je veux que la décomposition utilise le moins de portes quantiques possible. Ce point est secondaire pour le moment.
Une bonne méthode me permettrait de choisir le compromis que je veux entre le nombre de portes quantiques et la précision de l'approximation. Si cela n'est pas possible, une précision d'au moins $10^{-6}$ (en termes de norme de trace) est probablement (comme dit précédemment, je n'ai pas d'estimations donc je ne suis pas sûr de ce seuil) requise.
L'ensemble de portes est: ${H, X, Y, Z, R_{ϕ}, S, T, R_{x}, R_{y}, R_{z}, CX, SWAP, iSWAP, \sqrt{SWAP}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ avec $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ comme décrit dansWikipédia, $R_A$ la rotation par rapport à l'axe $A$ ( $A$ est soit $X$ , $Y$ ou $Z$ ) et $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

Les méthodes que je connais:

L'algorithme de Solovay-Kitaev. J'ai une implémentation de cet algorithme et je l'ai déjà testé sur plusieurs matrices unitaires. L'algorithme génère des séquences assez longues et le compromis [nombre de portes quantiques] VS [précision de l'approximation] n'est pas suffisamment paramétrable. Néanmoins, je vais exécuter l'algorithme sur ces portes et éditer cette question avec les résultats que j'ai obtenus.
Deux articles sur l' approximation de porte à 1 qubit et l' approximation de porte à n qubit . J'ai également besoin de tester ces algorithmes.

EDIT: modification de la question pour rendre "racine carrée de non" plus apparente.

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nelimee
source

Avez-vous un jeu de portes spécifique en tête et y a-t-il une raison pour laquelle vous ne pouvez pas implémenter

nativement / directement sur le qubit?

G

$G$

— Mithrandir24601

Modifié pour préciser le gate-set que j'avais en tête :)

— Nelimee

On dirait que W peut être fait avec le droit sqrt (SWAP) + un CNOT + portes à qubit unique.

— Norbert Schuch

Je suis curieux de savoir ce que vous essayez de faire avec cela, si cela ne vous dérange pas d'élaborer.

— psitae

Ces deux portes apparaissent dans des circuits quantiques pour simuler des hamiltoniens très simples (hamiltoniens à 1 sparse avec seulement des entrées réelles ou seulement des entrées imaginaires). La thèse qui y est développée est assez difficile à obtenir. La seule façon que j'ai trouvée est de demander une copie ici et d'attendre une réponse sur votre boîte aux lettres :)

— Nelimee

Vous avez choisi deux matrices particulièrement simples à implémenter.

La première opération (G) n'est que la racine carrée de la porte X (jusqu'à la phase globale):

$R_X(\pi/2)$

La deuxième opération (W) est une matrice de Hadamard dans le bloc 2x2 central d'une matrice autrement identitaire. Chaque fois que vous voyez ce motif 2x2-au-milieu, vous devriez penser à "une opération contrôlée conjuguée par des CNOT". Et c'est exactement ce qui fonctionne ici (remarque: vous devrez peut-être échanger les lignes; cela dépend de votre convention d'endianisme):

Le seul vrai problème est donc de savoir comment mettre en œuvre une opération Hadamard contrôlée. Un Hadamard est une rotation de 180 degrés autour de l'axe X + Z. Vous pouvez utiliser une rotation de 45 degrés autour de l'axe Y pour déplacer l'axe X + Z vers l'axe X, puis faire un CNOT à la place du CH, puis reculer l'axe:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Craig Gidney
source

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

La construction est optimale dans le sens où elle nécessite deux portes CNOT et au plus 12 portes à qubit unique (pour le cas le plus général d'une vraie porte à deux qubits). La construction est basée sur l'homomorphisme:

S O (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W = M U M^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

En utilisant cette construction, l'implémentation complète de la porte donnée par Vatan et Williams est:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— David Bar Moshe
source

Aucune de ces portes ne nécessite de séquences approximatives. Vous pouvez les implémenter exactement avec vos ensembles de portes spécifiés sans grand effort.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
source