Comment construire un Z contrôlé multi-qubit à partir de portes élémentaires?

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Pour la mise en œuvre d'un certain algorithme quantique, j'ai besoin de construire une porte Z contrôlée multi-qubit (dans ce cas, trois qubit) à partir d'un ensemble de portes élémentaires, comme le montre la figure ci-dessous. .

Les portes que je peux utiliser sont

les portes Pauli et toutes leurs puissances (ie toutes les rotations Pauli jusqu'à un facteur de phase), $\rm X, Y, Z$
${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (rotation autour de projecteur), $|11\rangle\langle11|$
$\rm H$ (Hadamard),
$\rm C_X$ (contrôle X à un seul qubit ou CNOT),
$\rm C_Z$ (Z contrôlé par un seul qubit), et
$\rm S$ (SWAP).

Comment puis-je construire ce Z à trois qubits contrôlés à partir de ces portes? J'ai lu plusieurs articles sur les décompositions de circuits, mais aucun d'eux n'a pu me donner une réponse claire et concise.

quantum-gate gate-synthesis

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen
source

Votre quatrième registre doit-il avoir un Z au lieu d'un cercle noir?

— user1271772

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@ user1271772 Les deux vont bien. Étant donné que les portes Z contrôlées sont symétriques dans les qubits utilisés (c'est-à-dire que l'on peut échanger deux qubits et que l'effet de la porte restera le même), une notation sans ordre, comme celle avec des points noirs, a été considérée comme plus appropriée dans la littérature récente.

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

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(EDIT: Amélioré à 14 CNOT.)

Cela peut être fait avec 14 CNOT, plus 15 rotations Z à un seul qubit et aucun qubits auxiliaires.

Le circuit correspondant est

où les $\fbox{$\pm$}$ portes sont des rotations

R_{z} (\pm π / 16) \propto (\begin{matrix} 1 \\ e^{\pm i π / 8} \end{matrix})

$R_z(\pm\pi/16)\propto \left(\begin{matrix}1\\&e^{\pm i\pi/8} \end{matrix}\right)$

Dérivation:

En utilisant la procédure décrite dans https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , toute porte diagonale - toute donc en particulier la porte CCCZ - peut être décomposée en termes par exemple de CNOT et de portes diagonales à un qubit, où les CNOT peuvent être optimisés par eux-mêmes en suivant une procédure d'optimisation classique.

La référence fournit un circuit utilisant 16 CNOT pour des portes arbitraires diagonales à 4 qubits (Fig. 4).

Cela peut être amélioré si des paires arbitraires de qubits peuvent être couplées à 14 qubits. Pour les voisins les plus proches avec des conditions aux limites périodiques (ouvertes), cela peut être fait avec 16 (18) CNOT. Les circuits correspondants peuvent être trouvés dans https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Fig. 5.2, 5.4 et 5.5, et peuvent par exemple être obtenus en utilisant des méthodes pour construire de courtes séquences de Gray.

Le nombre de portes à un qubit est toujours de 15.

$\bigoplus_{i\in I}x_i$ $I\subset\{1,2,3,4\}$

Notez également que cette construction ne doit en aucun cas être optimale.

^{1 Remarque: je suis un auteur}

— Norbert Schuch
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Et est-ce que l'utilisation de portes Rx (ou Ry) au lieu de portes Rz en ferait une porte multi-qubit contrôlée X (ou contrôlée Y)?

— Sierox

@Sierox Il vous suffit de tout transformer en Hadamard sur le qubit inférieur, c'est-à-dire que les CNOT correspondants deviendront CZ et les rotations sur le qubit inférieur deviendront X rotations.

— Norbert Schuch

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$n$ $U$ $U$ $Z$

— user1271772
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Cela donne un circuit avec une profondeur potentiellement excessive. Peut-être que l'OP veut un circuit moins profond avec ce jeu de portes. On peut faire une procédure automatique pour réduire modérément la taille des circuits.

— AHusain

@AHusain: Quelle est la procédure automatique?

— user1271772

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Il utilise les résultats de la théorie des groupes automatiques, donc c'était un jeu de mots. L'explication irait ailleurs; pas un bref commentaire.

— AHusain

Ok @AHusain, je vais poser une question spécialement pour vous!

— user1271772

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Voici une construction CCCZ qui utilise 29 portes :

Si vous êtes autorisé à utiliser la mesure et la rétroaction classique, le nombre de portes peut être réduit à 25 :

(Les portes Hadamard peuvent être remplacées par des racines carrées de Y si nécessaire pour respecter la contrainte de jeu de portes.)

Et si vous me permettez d'effectuer des portes S contrôlées et des portes sqrt (X) contrôlées et d'effectuer des mesures de base X, je peux le réduire à 10 portes au total :

— Craig Gidney
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Mais vous utilisez à la fin une porte contrôlée par mesure + conditionnelle. Je dirais que c'est en dehors des règles "normales" du jeu. (Par exemple, si vous remplaciez cela par une porte contrôlée et retardiez la mesure, vous utiliseriez toujours un Toffoli.)

— Norbert Schuch

1

@NorbertSchuch C'est pourquoi je préfère le deuxième diagramme avec "si vous êtes autorisé à utiliser la mesure et la rétroaction classique". Notez que le premier diagramme n'utilise pas ces choses.

— Craig Gidney du

UPS. Désolé. Mea culpa. Je n'aurais pas dû regarder les photos et faire défiler un peu: - |

— Norbert Schuch

A la fin du premier circuit, le cinquième qubit est rejeté. Comment devrais-je traiter ce qubit si j'avais besoin de plusieurs CCCZ en séquence?

— Dyon J Don Kiwi van Vreumingen

Vous le nourririez dans la prochaine CCCZ, mais abandonneriez les deux premières opérations dans le deuxième circuit de la CCCZ. Ces opérations le préparent dans un état T, qui est l'état final du qubit rejeté. Ainsi, la deuxième CCCZ aurait 2 opérations de moins.

— Craig Gidney

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Je poste ici une autre décomposition de CCCZ juste au cas où cela serait utile pour quiconque essaie de compiler CCCZ. Il nécessite un plus petit nombre de portes au total, et seulement 1 qubit auxiliaire au lieu de 2, mais cinq portes à 2 qubit de plus que la réponse "évidente", donc peut être en fait pire pour la mise en œuvre sur le matériel.

Il a été suggéré par l'utilisateur @Rob dans ce commentaire: Compilation automatique des circuits quantiques , et provient de cet article .

$(\chi)$

$n=5$ $\chi_{ij}=\chi$

— user1271772
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χ_{i j}

$\chi_{ij}$

@NorbertSchuch: la question demande que CCCZ ne se connecte pas (CCCZ). Si nous devions faire le log (CCCZ), ce que vous suggérez probablement puisque GMS5 est une exponentielle de portes élémentaires et que le logarithme de celui-ci serait probablement plus simple à implémenter, serait-il facile d'obtenir la sortie de CCCZ de la réponse au log ( CCCZ)?

— user1271772

Je ne sais pas de quoi vous parlez. Les sommes de produits ou Paulis ne sont PAS faciles à mettre en œuvre. Ils ne sont même pas unitaires. --- Mais les logarithmes des unitaires sont des hamiltoniens, donc si vous pouvez évoluer dans le temps avec log (CCCZ) à travers une configuration expérimentale intelligente, vous obtiendrez CCCZ avec "une porte" dans ce comptage.

— Norbert Schuch

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@NorbertSchuch: Votre commentaire "exp (-iHt) n'est guère adiabatique" est sémantiquement nul et n'a aucun sens. Pourquoi m'avez-vous demandé "pourquoi ne pas simplement prendre le logarithme de la porte CCCZ?" ?

— user1271772

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@ user1271772 juste pour ajouter à ce que (je crois) Norbert dit dans les commentaires: le problème d'essayer de trouver des hamiltoniens indépendants du temps générant directement des portes non triviales (CCX et d'autres sont examinés dans l'article) a été étudié dans arxiv.org/ abs / 1803.07119 . Le problème dans ce cadre est celui de trouver des hamiltoniens qui ne contiennent que des interactions réalisables et qui génèrent toujours la porte cible. La ressource devient ainsi ce que les interactions hamiltoniennes sont permises, plutôt que quelles portes élémentaires sont autorisées

— glS

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$T$ $Z^{1/4}$

$T$ $|1\rangle$ $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$ $XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$ $-iHT^4H=-iX$ $Z^{1/4}$ $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Notez également que les deux portes Toffoli ne sont que Toffoli car elles ciblent l'état 0. Généralement, vous auriez besoin d'une porte supplémentaire à deux qubits.

Je n'ai pas trouvé une construction aussi efficace dans la littérature existante, bien que cet article revendique une construction utilisant seulement 11 portes à 2 qubits, mais je n'ai pas fait un compte de porte complet une fois qu'il est converti en jeu de portes restreint de la question.

— DaftWullie
source

On dirait que vous n'êtes pas non-calculateur qch. dans la moitié inférieure du circuit - mais je n'y ai pas vraiment réfléchi;)

— Norbert Schuch

J'ai non calculé l'ancilla, à part une rotation de qubit unique non pertinente. C'est ce que fait le dernier Toffoli. Je suppose que Toffoli devrait être en virgules inversées car il manque cette porte à la fin.

— DaftWullie

Êtes-vous sûr que le premier bloc est un Toffoli - ou est-ce juste un Toffoli sur l'ancilla? (Je me souviens que la meilleure chose à faire pour Toffoli était d'environ 8 CNOT).

— Norbert Schuch

Je pense que vous manquez une correction de phase CS sur les deux qubits supérieurs dans le bloc du milieu. Vous devriez pouvoir déposer la CZ la plus à gauche de chacun des blocs latéraux.

— Craig Gidney

Je vérifierai attentivement mardi. Je pensais que cette formulation évitait le cS.

— DaftWullie

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Alors que mon autre réponse est la manière la plus évidente de "manuel" (en utilisant la décomposition CCCZ de Nielsen & Chaung en CCNOTs , puis une autre décomposition de manuel pour compiler les CCNOTs ), une manière plus créative pourrait nous permettre de faire le travail avec moins de portes.

Étape 1:

Remplacez tous les CNOT du circuit de Nielsen & Chuang par ce gadget:

Étape 2:

Nous avons maintenant un tas de CCZ au lieu de CCNOT, et ils peuvent être décomposés comme ceci (avec la permission de ce document ):

Étape 3:

$H^2 = I$

— user1271772
source

Quel est le nombre de portes?

— Norbert Schuch