Comment un ordinateur quantique pourrait-il être utilisé pour résoudre des équations différentielles partielles?

12

Supposons que vous ayez un PDE à résoudre.

Quel type d'algorithmes quantiques utiliseriez-vous pour le résoudre? Comment pouvons-nous saisir notre problème sur un ordinateur quantique? Quelle sera la sortie et sous quelle forme?

Je sais que les algorithmes quantiques pour résoudre les systèmes linéaires (souvent appelés HHL mais en fait c'est un mauvais nom car les autres versions ne sont pas des auteurs de HHL) ont été listés avant mais peut-être que d'autres méthodes sont disponibles. De plus, comme il est considéré comme un sous-programme, la sortie est quantique et à moins que vous ne vouliez d'elle des statistiques ou que vous l'utilisiez comme entrée d'un autre algorithme quantique, elle est limitante.

algorithm

— cnada
source

Dans quelle mesure voulez-vous que votre PDE soit? Est-ce linéaire?

— AHusain

Si vous avez différentes configurations de PDE en tête, j'aimerais savoir pour chacune. Dites linéaire par exemple d'abord parce que je suppose que non linéaire peut être plus difficile à faire.

— cnada

6

Je n'ai pas de réponse exacte à votre question (si elle existe réellement); mais je peux répondre à une partie de votre question concernant les E / S à un processeur quantique.

En règle générale, Les algorithmes quantiques (actuellement) ne peuvent pas fournir de réponses directes aux énoncés de problèmes. Au moins pour l'instant, les processeurs quantiques existent en tant qu'accélérateurs hétérogènes avec une unité informatique classique. L '«accélérateur quantique» ne s'intéresse qu'à la partie de l'algorithme global qui n'est pas triviale (ou exponentielle en complexité) à résoudre sur un ordinateur classique. Au final, seule une sous-partie du programme est réellement calculée sur le processeur quantique. (Par exemple, l'algorithme de factorisation de Shor est en fait un algorithme de recherche de période. La recherche de période est une tâche non triviale.)

Parmi plusieurs autres raisons, l'un des principaux problèmes est le fonctionnement d'entrée et de sortie avec un processeur quantique. Le problème «doit» être exprimable sous une forme concise (par exemple, une équation). Cette équation est exprimée comme un circuit quantique dans «l'oracle» qui est principalement concerné par la résolution de l'équation et les résultats de mesure sont enregistrés (tomographie). La sortie a également besoin d'un post-traitement pour avoir un sens (ce qui est à nouveau effectué par le pendant classique).

ps Je serais très intéressé à en savoir plus sur la résolution des algorithmes quantiques par PDE; s'il y en a un efficace.

— viliyar
source

Je comprends le point de vue "général". Ce n'est tout simplement pas trivial pour moi comment nous modélisons la résolution de PDE sur un ordinateur quantique. Ceci est direct dans HHL car votre problème peut être exprimé comme un système linéaire Ax = f lorsque vous effectuez une discrétisation. Vous exprimez simplement votre f comme un état quantique (votre première entrée), utilisez A sous une forme hermitienne pour l'estimation de phase par exemple (deuxième entrée) et en utilisant le sous-programme qui utilise une rotation et un calcul non contrôlés (au moins pour la version originale de HHL ) vous avez votre sortie comme un état quantique.

— cnada

Cela devient en quelque sorte efficace dans la taille du problème car vous utilisez la dimensionnalité exponentielle de l'espace de Hilbert pour coder dans les amplitudes de probabilité de la fonction d'onde.

— cnada

Mais je me demande s'il existe d'autres moyens / algorithmes pour les PDE.

— cnada

4

Je suis tombé sur une approche pour résoudre des équations différentielles à l'aide d'un recuit quantique à ondes D. Le lien est ici: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

La méthode de base consiste à dériver l'énergie fonctionnelle pour l'équation différentielle qui est ensuite minimisée sur un recuit quantique. La minimisation peut utiliser une base d'éléments finis pour mapper l'énergie à un sous-graphique localisé de la machine à ondes D.

L'avantage de cet algorithme par rapport à l'algorithme classique est qu'il n'est même pas nécessaire de construire un système d'équations, il y a donc des économies de mémoire et évite le coût d'assemblage d'un système linéaire. La complexité de la solution est cependant la même que la méthode classique du gradient conjugué: . L'algorithme HHL, d'autre part, peut donner une vitesse exponentielle, mais comme vous l'avez dit ne donne pas directement la solution, en plus nous devons assembler le système linéaire en premier lieu. $\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
source

1

Salut Jeremy! Selon ce fil et d'autres articles de recherche, la méthode du gradient conjugué n'est pas mais plutôt avec la rareté de la matrice et son numéro d'état.

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$

— Nelimee