Comment les probabilités de chaque état changent-elles après une transformation d'une porte quantique?

Les portes quantiques sont représentées par des matrices, qui représentent les transformations appliquées aux qubits (états).

Supposons que nous ayons une porte quantique qui fonctionne sur $2$ qubits.

Comment la porte quantique affecte-t-elle (pas nécessairement la modifie-t-elle) le résultat de la mesure de l'état des qubits (car le résultat de la mesure est fortement affecté par les probabilités de chaque état possible)? Plus précisément, est-il possible de savoir à l'avance comment les probabilités de chaque état changent en raison de la porte quantique?

Cas I: Les 2 qubits ne sont pas enchevêtrés.

Vous pouvez écrire les états des deux qubits (disons et B ) comme | ψ A ⟩ = un | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ et | ψ B ⟩ = c | 0 ⟩ + d | 1 ⟩ où a , b , c , d ∈ C .$\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

Les qubits individuels résident dans des espaces vectoriels complexes bidimensionnels (sur un champ C ). Mais l'état du système est un vecteur (ou point ) résidant dans un espace vectoriel complexe à quatre dimensions C 4 (sur un champ C ).$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

L'état du système peut être écrit comme un produit tensoriel -à- dire un c | 00 ⟩ + un d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩ .$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

Naturellement, car le vecteur d'état doit être normalisé. La raison pour laquelle le carré de l'amplitude d'un état de base donne la probabilité que cet état de base se produise lorsqu'il est mesuré dans la base correspondante réside dans la règle de Born de la mécanique quantique (certains physiciens le considèrent comme un postulat de base de la mécanique quantique) . Maintenant, la probabilité de | 0 ⟩ se produisant quand on mesure le premier qubit est$|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ . De même, la probabilité de | 1 ⟩ se produisant lorsqueon mesure le premier qubit est | b c | 2 + | b d | 2 .$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

Maintenant, que se passe-t-il si nous appliquons une porte quantique sans effectuer de mesure sur l'état précédent du système? Les portes quantiques sont des portes unitaires. Leur action peut s'écrire comme l'action d'un opérateur unitaire sur l'état initial du système ie a c | 00 ⟩ + un d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩ pour produire un nouvel état A | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (où A , B , C , D ∈ C ). L'ampleur de ce nouveau vecteur d'état: | A | 2 + | B | 2 + | C | 2 + | D | 2 équivaut à nouveau à 1 , car la porte appliquée étaitunitaire. Lorsque le premier qubit est mesuré, la probabilité de | 0 ⟩ se produire est | A | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$ et de même vous pouvez le trouver pour l'occurrence de | 1 ⟩ .$|A|^2+|B|^2$$|1\rangle$

Mais si nous effectuions une mesure, avant l'action de la porte unitaire, le résultat serait différent. Par exemple, vous avez mesuré le premier qubit et il s'est avéré être en état de l'état intermédiaire du système aurait effondré à un c | 00 ⟩ + un d | 01 $|0\rangle$ (selon l'interprétation de Copenhague). Vous pouvez donc comprendre que l'application de la même porte quantique surcetétat aurait donné un résultat final différent.$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

Cas II: Les 2 qubits sont enchevêtrés.

Dans le cas où l'état du système est quelque chose comme , vous ne pouvez pasreprésenter comme un produit tenseur des états de deux qubits individuels (essayer!). Il existe de nombreux autres exemples de ce type. Les qubits seraient enchevêtrés dans un tel cas.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

Quoi qu'il en soit, la logique de base reste la même. La probabilité de se produisant lorsque l' on mesure le premier qubit est | 1 / $|0\rangle$ et| 1⟩se produisant est$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$ aussi. De même, vous pouvez trouver les probabilités de mesure du deuxième qubit.$\frac{1}{2}$

Encore une fois, si vous appliquez une porte quantique unitaire à cet état, vous vous retrouveriez avec quelque chose comme , comme précédemment. J'espère que vous pouvez maintenant découvrir vous-même les probabilités des différentes possibilités lorsque les premier et deuxième qubits sont mesurés.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

Remarque: Normalement, les états de base du système à 2 qubits sont considérés comme les quatre 4 × 1 vecteurs de colonnes comme [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] , etc. en mettant en correspondance des quatre vecteurs de base à la base de la norme R 4 . Et, les transformations unitaires U peuvent s'écrire 4 × $|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$matrices qui satisfont la propriété .$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

Oui c'est possible. Les portes quantiques sont conçues de telle sorte que des états d'entrée donnés sont transformés en états de sortie bien définis avec des probabilités calculables. La transformation ne constitue pas une mesure au sens de la mécanique quantique, cela signifie que nous pouvons avoir des états intriqués dans la sortie d'une porte quantique et utiliser ces états pour des calculs ultérieurs.

Notez également que les états d'entrée ne sont plus accessibles après avoir été transformés par une porte quantique. Si vous voulez les récupérer, vous devez appliquer une porte inverse.

Comment la porte quantique affecte-t-elle (pas nécessairement la modifie-t-elle) le résultat de la mesure de l'état des qubits (car le résultat de la mesure est fortement affecté par les probabilités de chaque état possible)? Plus précisément, est-il possible de savoir à l'avance comment les probabilités de chaque état changent en raison de la porte quantique?

Essayons d'aborder cela avec un exemple et de la géométrie. Considérons un seul qubit, dont l'espace de Hilbert est , c'est-à-dire l'espace complexe de Hilbert à deux dimensions sur C (pour les personnes plus techniques, l'espace de Hilbert est en fait C P 1 ). Il s'avère que C P 1 ≅ S 2 , la sphère unitaire, également connue sous le nom de sphère de Bloch . Cela se traduit par le fait que tous les états d'un qubit peuvent être représentés ( uniquement ) sur la sphère Bloch.$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

Source: Wikipedia

L'état d'un qubit peut être représenté sur la sphère Bloch comme , où0≤& thetav≤πet0≤& phiv<2π. Ici,| 0⟩=[10]et| 1⟩=[01]sont les deux états de base (représentées sur la figure au nord et pôle sud respectivement). Les états du qubit ne sont donc que des vecteurs de colonne, qui sont identifiés avec des points (uniques) sur la sphère. ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

Comment cette porte agit-elle sur un qubit et affecte-t-elle les résultats de mesure?

$|0\rangle$$U = e^{-i \gamma Y}$$\gamma \in \mathbb{R}$$U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$$2 \gamma$$\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

As you said, the probabilities of measurements are obtained from the state. And the gates operate unitarily on the states. Consider the POVM element $\Pi$, a state $\rho$ and a gate $U$. Then the probability for the outcome associated with $\Pi$ is $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$, and the probability after the gate is $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

I just want to stress that it is impossible to know the probability of the outcome after the gate only from the probability of it before the gate. You need to consider the probability amplitudes (the quantum states)!

Let me make another remark: You are talking about two qubits, so the state after the gate might be entangled. In this case it will not be possible to have "individual" probability distributions for each qubit for all measurements in the sense that the joint probability distribution will not factor into the two marginal distributions.