Un ordinateur quantique peut-il facilement déterminer le temps de mélange du groupe de cubes Rubik?

Les officiels des tournois de cube de Rubik ont ​​utilisé deux façons différentes de brouiller un cube. À l' heure actuelle, ils cassent un cube démonter et remonter les petits cubes dans un ordre aléatoire du groupe de cube de Rubik . Auparavant, ils appliquaient une séquence aléatoire de mouvements Singmaster .G g ⟨ U , D , F , B , L , R $\pi\in G$$G$$g$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Cependant, la longueur du mot - le nombre de mouvements aléatoires nécessaires pour brouiller complètement le cube de telle sorte que chacune des permutations est à peu près également susceptible de se produire - est actuellement inconnue, mais doit être au moins 20 . Cette longueur t peut être appelée le temps de mélange d'une marche aléatoire sur le graphique de Cayley du groupe de cubes de Rubik généré par les mouvements Singmaster \ langle U, D, F, B, L, R \ rangle .g ‖ G ‖ = 43 , 252 , 003 , 274 , 489 , 856 , $t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Un ordinateur quantique aurait-il des avantages à déterminer le temps de mélange $t$ du groupe de cubes de Rubik?

Je pense que nous pouvons avoir une séquence intelligente de mouvements Hadamard pour créer un registre comme une superposition uniforme sur toutes ces configurations ; ainsi, appliquer n'importe quelle séquence de mouvements Singmaster à ne change pas . ‖ G ‖ | A ⟩ | A $\vert A \rangle$$\Vert G\Vert$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$

Si nous avons une supposition sur le temps de mélange , nous pouvons également créer un autre registre comme une superposition uniforme de tous les mots Singmaster de longueur , et appliquer conditionnellement chacun de ces mots à un état résolu , pour obtenir, espérons-le, un état telle sorte que si nous mesurons , chacune des configurations est également susceptible d'être mesurée. Si , alors nous n'aurons pas suivi le graphique de Cayley de assez longtemps, et si nous devions mesurer t | B de t ' | A ′ ⟩ | B ⟩ | A ⟩ | A ⟩ ‖ G ‖ t ' < t G | A ⟩ | B ⟩ | A $t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, des configurations plus "proches" de l'état résolu seraient plus probables. Une transformation astucieuse de type Fourier sur pourrait être capable de mesurer la distribution uniforme de .$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Pour moi, cela ressemble à quelque chose qu'un ordinateur quantique peut être bon. Par exemple, si n'a pas été uniformément mélangé par tous les mots dans , alors certaines configurations sont plus probables que d'autres, par exemple est plus "constant"; alors que si a été complètement mélangé par toutes les promenades, alors est plus "équilibré". Mais mon intuition sur les algorithmes quantiques et les chaînes de Markov n'est pas assez forte pour aller très loin.| B ⟩ | A $\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$| A $\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

ÉDITER

Comparez cette question avec le problème de vérification du nœud quantique.

Dans la vérification des nœuds quantiques, un commerçant reçoit une pièce quantique sous la forme d'un état de tous les nœuds qui ont un invariant particulier. Afin de vérifier la pièce quantique, elle applique une chaîne de Markov à la transition à elle-même (si c'est une pièce valide.) Elle doit appliquer cette chaîne de Markov et mesurer le résultat au moins fois, mais sinon elle a aucun moyen de construire par elle-même (de peur qu'elle ne puisse forger la pièce.) Donc, si on lui donne une pièce valide, on lui donne un état qu'elle ne peut pas produire seul , avec une chaîne de Markov comme matrice , et elle connaît probablement le temps de mélangeM | K de t | K ⟩ M t | K $\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; elle doit vérifier que est valide.$\vert K \rangle$

Dans la présente question, il est probablement assez facile de générer de toutes les permutations de cube de Rubik. Le circuit quantique correspondant à la chaîne de Markov, appelez-le , de mouvements Singmaster, est également probablement assez facile à construire. Cependant, le temps de mélange est inconnu et est la seule chose à déterminer.S $\vert RC \rangle$$S$$t$

C'est une question intéressante qui est meilleure que la plupart "existe-t-il un algorithme quantique pour x?" des questions. Je ne connais pas d'algorithme quantique existant. Permettez-moi de décrire ce que je pense être une première tentative typique et pourquoi cela échoue. À la fin, je décrirai quelques éléments qui pourraient conduire à des améliorations.

Première tentative d'algorithme

Disons que je veux tester un temps de mélange particulier . Je vais créer un registre, contenant suffisamment d'espace de travail pour contenir l'une des configurations possibles du cube Rubik. L'état initial de ceci est un état de produit qui correspond à l'état de départ du cube.R $t$$RC$

Ensuite, je vais faire des registres ancilla, à . Chacun d'eux a la même taille que le nombre de mouvements Singmaster possibles et est préparé comme une superposition uniforme sur tous les éléments de base possibles. Ensuite, pour chaque , nous appliquons une unité contrôlée de à où le registre spécifie quel mouvement Singmaster est appliqué sur .A 1 A t i = 1 , … t A i R C A i R $t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Après tout cela, si nous regardons simplement , il devrait être dans l'état de mélange maximal si le mélange s'est produit comme souhaité. Le problème est de savoir si cette sortie est ou non l'état mélangé maximal. Il existe des techniques utiles comme celle-ci , mais de quelle précision avons-nous besoin (c'est-à-dire combien de répétitions?). Nous aurons besoin d'environ pour être sûr, je pense.| A | $RC$$|A|^t$

En fait, cette façon de faire est tout aussi mauvaise que de le faire de façon classique: vous pouvez remplacer l'état initial de chacun des par et cela ne changerait pas le résultat . Mais c'est vraiment comme faire un choix aléatoire à chaque fois et exécuter plusieurs fois, en vérifiant la distribution de sortie correcte.I / 2 | A i $A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Améliorations possibles

• Fonctionnant comme je l'ai décrit, la matrice de densité de sortie (sur ) doit être diagonale. Cela signifie que la superposition uniforme sur tous les états de base est un état propre si et seulement si le système est mélangé au maximum. Je le ferais si l'on pouvait combiner cette observation avec une sorte d'amplification d'amplitude pour obtenir une légère accélération. Notez que crée très rapidement une différence avec si l'état n'est pas un vecteur propre.R C | u ⟩ p k | u ⟩ | u $\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• En dehors de cela, vous devez probablement faire quelque chose de plus intelligent avec les registres ancilla. Il y a un peu d'espoir que cela soit possible car il y a beaucoup de structure de groupe intégrée au cube Rubik. Une chose que vous pourriez essayer est de voir si vous pouvez remplacer tous les registres ancilla par un seul registre, appliquez des portes Hadmard sur chaque qubit du registre entre chaque série d'unités contrôlées. Il se peut que tout cela ne fasse que vous faire gagner en efficacité en termes de nombre de qubits par rapport à ma suggestion initiale. Cela pourrait même ne pas faire ça.$t$

Que ce soit directement ou non, je ne sais pas. Pourtant, je pense que les principes clés sont de trouver une structure de groupe utile et de trouver un moyen d'appliquer l'amplification d'amplitude.

Vous pourriez trouver utile de vous renseigner sur les conceptions unitaires . C'est certainement un problème distinct de ce dont nous parlons ici, mais certains des outils techniques pourraient être utiles. En gros, l'idée est qu'un ensemble d'unités est une conception si l'application aléatoire de ces unités permet de simuler une unité vraiment aléatoire (tirée de la mesure de Haar) sur les fonctions de sortie qui, lorsqu'elles sont développées à l'aide de une série de Taylor, sont précises jusqu'au degré . La connexion approximative ici est que si vous prenez les unitaires représentant une séquence de mouvements Singmaster comme , il suffirait que cet ensemble soit à 2 plans (si vous obtenezt f t t { U } Tr ( ρ 2$\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$$\text{Tr}(\rho^2)$ correct, vous avez terminé).

(CW pour éviter les représentants de l'auto-réponse)

Il pourrait y avoir un moyen interactif pour deux parties de restreindre la valeur de , en suivant la réponse de @ DaftWullie et les commentaires de @Steven Sagona. Mon formalisme est pauvre, mais j'espère que l'idée passera ...$t$

Par exemple, appelez les deux parties Alice et Bob. Les parties doivent coopérer et se comporter honnêtement conformément au protocole.

Alice sait préparer deux états, et . Ici, est la superposition uniforme sur toutes les combinaisons de cubes de Rubik, et est un autre état de singe avec le même nombre de qubits (tel que l'état correspondant à un cube de Rubik résolu, ou une superposition uniforme sur un grand sous-groupe de ). Bob sait comment appliquer une matrice à un état quantique, où correspond à une seule étape de tous les mouvements Singmaster (avec des ancillas le cas échéant.)| A 1 ⟩ | A 0 ⟩ | A 1 ⟩ G M $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$

Alice et Bob veulent montrer que le temps de mixage du groupe de cubes de Rubik sous les mouvements Singmaster est au plus . Alice et Bob répéter les éléments suivants les temps.r $t$$r$$s$

1. Alice lance une pièce et fournit à Bob| A i$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob répète fois pour appliquer à et mesure le projecteur à chaque fois.M | A i$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Si le projecteur est pour chacune des itérations, alors Bob dit que . Si le projecteur est pas pour au moins l' un des itérations, alors Bob dit que Alice est .r i = 0 1 r i = $1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Si , alors chacun de Bob les itérations à l' étape 2 ne change pas - parce que par définition est un état propre de la matrice de Bob, et la matrice de Bob permute juste les états entre eux. Si , alors l'état de singe n'est pas un état propre du projecteur de Bob, et la probabilité qu'un ne soit pas mesuré augmente rapidement avec . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Ainsi, si Bob a prédit avec précision pour itérations, la probabilité de réussite augmente de façon exponentielle avec , et de Bob est suffisamment grand pour distinguer un état cube Rubik valide d'un état singe.$i$$s$$s$$r$

Je ne sais pas à quelle distance doit être éloigné de . Je ne sais pas non plus si l'interaction peut être supprimée.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Considérons d'abord quelques registres et opérateurs.

1. Le registre , qui encode les superpositions d'états du cube (par exemple une permutation du cube );$\vert A\rangle$$G$
2. L'opérateur , qui agit sur pour mapper le ket du tout-0 à la superposition uniforme sur tous les états ;$U$$\vert A\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$\Vert G\Vert$
3. Le registre , qui code les superpositions d'un ensemble de mouvements Singmaster à appliquer à une position donnée (par exemple, les superpositions de mots de Singmaster mouvements de longueur );$\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$$k$
4. Les opérateurs et , qui agissent sur pour mapper le ket all-0 à la superposition uniforme de tous les mots de mouvements Singmaster de longueur (et vice versa); et$V$$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$$18^k$$k$
5. L'opérateur (contrôlé) , qui applique le mouvement Singmaster à une position de cube donnée.$W$$b$

Si est dans la superposition uniforme sur tous les éléments de , alors est dans un état propre de , et les applications répétées de ne seront pas repoussées pour affecter .$\vert A\rangle$$G$$\vert A\rangle$$W$$W$$\vert B\rangle$

C'est-à-dire que devrait renvoyer dans le circuit ci-dessus à tous les zéros ket .$V^{-1}$$\vert B\rangle$$\vert 00\cdots 0\rangle$

Cependant , comme l'a noté @DaftWullie, si n'est pas dans un état propre, alors une différence entre et s'accumule très rapidement - je crois qu'une vitesse à laquelle cette différence s'accumule dépend précisément des propriétés de mélange de l'opérateur d'intérêt.$\vert u\rangle$$\vert u \rangle$$\rho^k \vert u\rangle$

Ainsi, si nous sommes en mesure de préparer un état qui est perturbé par la distribution uniforme, de telle sorte que n'est pas un état propre, alors des applications répétées de feront rapidement une différence, et n'est peut-être pas le tout à zéro.$\vert A\rangle$$\vert A\rangle$$W$ $V^{-1}\vert B\rangle$

Si nous avions une fonction agissant sur et une réponse qubit qui détermine, disons, si un hachage de la position du cube de Rubik est inférieure à un certain seuil , et nous utilisons ce pour contrôler une rotation de , alors je crois que dans le le circuit ci-dessus ne lira pas le ket tous zéros, et au lieu de cela, il s'écartera probablement du ket tous zéros d'une manière dépendant uniquement de et du temps de mélange du groupe de cubes Rubik avec le groupe électrogène Singmaster.$F$$\vert A\rangle$$\vert C\rangle$$\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$$\delta$$F$$\vert A\rangle$V - 1 | B de la δ$V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

Autrement dit, je m'attends à ce que la mesure de dans le circuit ci-dessus se lise ou quelque chose de similaire, où l'indice du premier dépend uniquement du temps de mélange et du seuil .$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$1 δ$1$$\delta$