Avantage de simuler des Hamiltoniens clairsemés

Dans la réponse de @ DaftWullie à cette question, il a montré comment représenter en termes de portes quantiques la matrice utilisée comme exemple dans cet article . Cependant, je pense qu'il est peu probable d'avoir des matrices aussi bien structurées dans des exemples réels, donc j'essayais de regarder d'autres méthodes pour simuler un hamiltonien. J'ai trouvé dans plusieurs articles une référence à celui-ci par Aharonov et Ta-Shma dans laquelle, entre autres, ils déclarent qu'il est possible d'avoir un certain avantage dans la simulation de hamiltoniens clairsemés . Après avoir lu l'article, cependant, je n'ai pas compris comment la simulation des hamiltoniens clairsemés pourrait être effectuée. Le problème est généralement présenté comme celui de la coloration du graphique, mais en regardant également la présentation que @Nelimee a suggéré de lire pour étudier l'exponentiation matricielle, tout cela tombe dans la silmulation grâce à la formule du produit.

Pour faire un exemple, prenons une matrice aléatoire comme:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$ ce n'est pas hermitien, mais en utilisant la suggestion de Harrow, Hassidim et Lloyd, nous pouvons construire une matrice hermitienne à partir de cela:

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Maintenant que j'ai une matrice hermitienne 8x8, 2-sparse:

Puis-je simuler son évolution autrement que par la méthode de la formule du produit?
Même si j'utilise la formule du produit, comment puis-je exploiter le fait qu'elle soit rare? Est-ce simplement parce qu'il y a moins d'entrées non nulles et qu'il devrait donc être plus facile de trouver le produit des portes de base?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
source

La perspicacité qui suggère que les matrices clairsemées sont utiles va dans le sens de: pour tout , nous pouvons le décomposer en termes d'un ensemble de dont les composants individuels commutent tous (rendant la diagonalisation simple), Si la matrice est clairsemée, vous ne devriez pas avoir besoin de trop de distincts . Ensuite, vous pouvez simuler l'évolution hamiltonienne où . Par exemple, dans votre cas, vous pouvez avoir $H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$ (les 3 termes correspondant au fait qu'il s'agit d'un hamiltonien à 3 clavicules). Je crois qu'il y a une stratégie ici: vous passez en revue tous les éléments matriciels non nuls de votre hamiltonien et les groupez de sorte que si j'écris leurs coordonnées comme (et j'inclus toujours leur paire complexe conjuguée), je continue d'ajouter d'autres éléments de mon ensemble ne fournissaient ni ni égaux à ou .. Cela signifierait pour un hamiltonien parsé, vous avez

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$ différent .

H_{i}

$H_i$

Le problème est que cela ne fonctionne pas nécessairement aussi facilement dans la pratique. D'une part, il y a encore de manière exponentielle de nombreux éléments de matrice que vous devez parcourir, mais ce sera toujours le cas avec la façon dont vous le configurez.

La façon dont les gens se déplacent est de mettre en place un oracle. Un oracle possible est essentiellement une fonction qui renvoie la position et la valeur de la entrée non nulle sur la ligne . Cela peut être intégré dans un algorithme quantique complet. Il y a quelques articles sur ce sujet (dont aucun que je n'ai encore complètement compris). Par exemple, ici et ici . Permettez-moi d'essayer de donner une description grossière de leur fonctionnement. $f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

La première étape consiste à décomposer l'hamiltonien en un ensemble d'unités, multiplié par des facteurs d'échelle positifs : Pour simplifier, supposons . On peut supposer que vous avez cette décomposition. On définit alors une opération (construite sur contrôlée et contrôlée ) qui implémente . Si nous entrons un état particulier (jusqu'à la normalisation) sur le qubit de contrôle, appliquons , puis mesurons le qubit de contrôle, en le sélectionnant après qu'il soit dans l'état $\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$ , puis si la post-sélection réussit, nous avons implémenté , ce qui se produit avec une probabilité d'au moins . Vous pouvez faire exactement la même chose avec plusieurs termes, et en fait avec les exponentielles des hamiltoniens (pensez à l'expansion des séries), bien qu'en pratique, de meilleures extensions des séries soient utilisées sur la base des fonctions de Bessel.

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
source

Juste 2 choses que je n'ai pas comprises: 1) que voulez-vous dire lorsque vous dites que vous incluez toujours les paires conjuguées complexes? 2) La connaissance de la position offerte par l'oracle devrait nous aider en quoi? En nous aidant à déterminer l'ensemble d'unités représentant l'hamiltonien décomposé?

— FSic

@ F.Siciliano (2) La connaissance de l'oracle est utile car elle vous permet de parcourir uniquement les éléments non nuls de la matrice au lieu d'avoir à parcourir tous les éléments de la matrice pour découvrir ceux qui sont non nuls.

— DaftWullie

@ F.Siciliano (1) Puisque est hermitien, si vous savez que l'élément (i, j) a la valeur alors vous savez que l'élément a la valeur . Vous savez également que vous devez l'inclure dans les mêmes termes hamiltoniens lorsque vous le car ces termes doivent également être hermitiens.

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$

— DaftWullie