Porte de Toffoli en tant que FANOUT

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Je cherchais des exemples de circuits quantiques à exercer avec la programmation Q # et je suis tombé sur ce circuit:

^{De : Exemples de diagrammes de circuits quantiques - Michal Charemza}

Lors de mes cours d'introduction au calcul quantique, on nous a enseigné que le clonage d'un état est interdit par les lois de QM, alors que dans ce cas le premier qubit de contol est copié sur le troisième, cible, qubit.

J'ai rapidement essayé de simuler le circuit sur Quirk, quelque chose comme ça , qui confirme en quelque sorte le clonage de l'état en sortie sur le premier qubit. Mesurer le qubit avant la porte de Toffoli montre qu'il n'y a en fait pas de véritable clonage, mais plutôt un changement sur le premier qubit de contrôle, et une sortie égale sur le premier et le troisième qubit.

En faisant des calculs simples, on peut montrer que le "clonage" ne se produit que si le troisième qubit est à l'état initial 0, et que seulement si sur le premier qubit n'est pas effectué une "opération de rotation" (comme indiqué sur Quirk) sur Y ou X.

J'ai essayé d'écrire un programme en Q # qui n'a fait que confirmer ce qui précède.

J'ai du mal à comprendre comment le premier qubit est modifié par cette opération, et comment quelque chose de similaire à un clonage est possible.

Merci d'avance!

quantum-gate quirk cloning

— D-Brc
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C'est une excellente question, et merci d'avoir fait l'effort de la formater si bien.

— user1271772

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Pour simplifier la question, considérons la porte CNOT au lieu de la porte Toffoli; CNOT est également fanout parce que

\begin{aligned} | 0 ⟩ | 0 ⟩ \to | 0 ⟩ | 0 ⟩ \\ | 1 ⟩ | 0 ⟩ \to | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$

et cela ressemble au clonage pour tout état de base $x\in\{0,1\}$

\begin{aligned} | x ⟩ | 0 ⟩ \to | x ⟩ | x ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$

mais si vous prenez une superposition alors $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

\begin{aligned} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩ \to α | 0 ⟩ | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$

si généralement

\begin{aligned} | ψ ⟩ | 0 ⟩ ↛ | ψ ⟩ | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$

et fanout n'est pas du clonage.

Quant à la question de savoir comment le premier qubit est modifié - il est maintenant enchevêtré avec le deuxième qubit.

— kludg
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autrement dit, parce que le théorème de non-clonage dit qu'il ne peut y avoir de pouvoir unitaire à cloner non orthogonaux états, alors que les états orthogonaux peuvent être clonés sans problèmes

— ih

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Bonne question! La réponse est que le théorème de non-clonage indique que vous ne pouvez pas cloner un état inconnu arbitraire .

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

$|\psi\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

— user1271772
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| x ⟩

$|x\rangle$

| x ⟩

$|x\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

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Le théorème du non clonage dit qu'il n'y a pas de circuit qui crée des copies indépendantes de tous les états quantiques. Mathématiquement, aucun clonage n'indique que:

\forall C : \exists une, b : C \cdot ((une | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) \neq (une | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes (une | 0 ⟩ + b | 1 ⟩)

Les circuits de fanout ne violent pas ce théorème. Ils ne font pas de copies indépendantes. Ils font des copies intriquées . Mathématiquement, ils font:

FANOUT \cdot ((une | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = une | 00 ⟩ + b | 11 ⟩

$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$

— Craig Gidney
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