Comment implémenter une matrice exponentielle dans un circuit quantique?

C'est peut-être une question naïve, mais je ne sais pas comment exponentiellement une matrice dans un circuit quantique. En supposant d'avoir une matrice carrée générique A , si je veux obtenir son exponentielle, , je peux utiliser la série $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Pour avoir son approximation. Je ne sais pas comment faire la même chose en utilisant des portes quantiques, puis je les applique par exemple pour effectuer une simulation hamiltonienne. De l'aide?

— FSic
source

Il n'est pas clair si vous parlez d'un circuit quantique qui prend

comme entrée et sortie

ou une simulation hamiltonienne (c'est-à-dire construire un circuit dont la matrice unitaire correspond à

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nelimee

Ma faute; ce que je voulais dire est, pris une matrice A, je veux avoir dans mon circuit son exponentielle,

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Reformuler votre question:

Comment effectuer la simulation hamiltonienne pour une matrice carrée générique ? $A$

Réponse rapide : ce n'est pas possible.

Le but de la simulation hamiltonienne (HS) est de trouver un circuit quantique (c'est-à-dire une succession de portes) qui agit comme sur un état quantique. Ici doit être unitaire (en raison des propriétés des portes quantiques) et donc doit également être unitaire. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

L'algorithme HS n'est donc applicable qu'aux matrices telles que est unitaire. Chaque matrice hermitienne satisfait cette propriété, mais pas toutes . Selon votre problème, cette limitation peut ou non être un problème, mais vous ne pouvez pas utiliser HS si n'est pas unitaire. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

$A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

La question intéressante est donc maintenant:

$A$

$A$

Il s'agit d'un énorme sujet de recherche et il y a beaucoup de choses à dire à ce sujet. Je ne présenterai pas ici toutes les méthodes car elles sont assez compliquées et je ne les ai pas toutes comprises. Voici une liste d'articles / présentations qui sont liés au SH et qui peuvent être intéressants pour commencer avec le SH:

Simulation de la dynamique hamiltonienne sur un petit ordinateur quantique : diapositives sur HS. Même s'il s'agit d'une présentation, c'est la source la plus complète que j'ai trouvée sur Hamiltonian Simulation. Il présente rapidement 3 méthodes différentes et cite des articles intéressants pour chaque méthode.
Notes de cours sur les algorithmes quantiques (Andrew M. Childs, 2017) : récentes et plutôt complètes. Le SH est traité au chapitre 25 (page 123).
Amélioration exponentielle de la précision pour simuler des Hamiltoniens clairsemés : présente en détail l'une des 3 méthodes présentées en 1.
Algorithmes quantiques efficaces pour simuler des hamiltoniens clairsemés : présente en détail une autre des 3 méthodes présentées en 1.

— Nelimee
source

Merci, surtout pour les références, je vais les consulter!

— FSic

Je vous recommande de commencer par la première référence. C'est le plus complet et il donne un lien vers d'autres articles. Pour moi (point de vue personnel), la première technique utilisant la formule Trotter-Suzuki est la plus compréhensible. Mais ce n'est peut-être pas la même chose pour vous!

— Nelimee

Chaque matrice hermitienne satisfait cette propriété : plus précisément, toutes les matrices hermitiennes et seulement celles-ci ont cette propriété

— glS