L'informatique quantique adiabatique peut-elle être plus rapide que l'algorithme de Grover?

Il a été prouvé que l'informatique quantique adiabatique est équivalente à l'informatique quantique "standard" ou à modèle de porte. Le calcul adiabatique, cependant, montre des promesses pour les problèmes d'optimisation, où l'objectif est de minimiser (ou maximiser) une fonction qui est en quelque sorte liée au problème - c'est-à-dire, trouver l'instance qui minimise (ou maximise) cette fonction résout immédiatement la problème.

Maintenant, il me semble que l'algorithme de Grover peut essentiellement faire la même chose: en recherchant dans l'espace de la solution, il trouvera une solution (éventuellement parmi de nombreuses solutions) qui satisfait le critère oracle, qui dans ce cas équivaut à la condition d'optimalité, dans le temps , oùNest la taille de l'espace de solution.$O(\sqrt N)$$N$

Cet algorithme s'est révélé optimal: comme Bennett et al. (1997), "la classe ne peut pas être résolue sur une machine de Turing quantique au temps o ( 2 n / 2 ) ". À ma connaissance, cela signifie qu'il n'y a aucun moyen de construire un algorithme quantique qui trouve une solution en parcourant l'espace plus rapidement que O ( $\rm NP$$o(2^{n/2})$, oùN estproportionnel à la taille du problème.$O(\sqrt N)$$N$

Ma question est donc la suivante: alors que l'informatique quantique adiabatique est souvent présentée comme supérieure en matière de problèmes d'optimisation, peut-elle vraiment être plus rapide que $O(\sqrt N)$ ? Si oui, cela semble contredire l'optimalité de l'algorithme de Grover, car tout algorithme adiabatique peut être simulé par un circuit quantique. Sinon, quel est l'intérêt de développer des algorithmes adiabatiques, s'ils ne seront jamais plus rapides que quelque chose que nous pouvons systématiquement construire avec des circuits? Ou y a-t-il un problème avec ma compréhension?

Bonne question. Pour la recherche non structurée, le calcul quantique adiabatique donne en effet exactement la même chose accélération que l'algorithme Grover standard basé sur la porte, comme le prouve$\sqrt{N}$ ce important article de Roland et Cerf. Cela correspond à l'équivalence entre le calcul quantique adiabatique et basé sur la porte que vous avez mentionnée.

(Une correction mineure à votre question: vous avez raison de dire que dans la configuration du problème de recherche oracle, vous devez encadrer votre requête de recherche comme une question oui / non à laquelle l'oracle peut répondre. Mais la question n'est pas réellement prise être "est-ce que extrémise la fonction f ( x ) ?", comme vous l'avez proposé. Au lieu de cela, c'est "est f ( x ) inférieur ou égal à M ?" Voir les diapositives 9 et 10 ici . C'est parce qu'un oracle pour ce dernier question est considérée comme un modèle plus réaliste pour une configuration physique, où il 's concevable que l'on pourrait directement calculer ou mesurer f ( x ) pour un x donné$x$$f(x)$$f(x)$$M$$f(x)$$x$ ,mais$f(x) - f_\text{min}$.)

Néanmoins, le CQ adiabatique présente deux avantages potentiels, tous deux difficiles à étudier théoriquement. Le premier est pratique: en fait, construire de grands circuits quantiques cohérents est beaucoup plus difficile que de les dessiner dans un article de journal. Même si QC adiabatiques n'a pas fondamentale advantage over the traditional setup, it might be much easier to implement experimentally.

Deuxièmement, la même mise en garde énorme s'applique à AQC qu'à l'algorithme de Grover standard: il ne s'applique qu'aux non structurés ou "boîte noire", où nous ignorons complètement les corrélations entre les réponses que l'oracle donne lorsqu'il est alimenté en "similaire" ou " requêtes "associées". Tout problème de recherche réel dont nous nous soucions aura par définition une certaine structure, bien que cette structure puisse être beaucoup trop compliquée pour que nous puissions l’analyser. Par exemple, si nous considérons la fonction à être extrémisée comme un paysage énergétique, il semble raisonnable que le système puisse plus facilement creuser un tunnel entre des minima locaux "proches" qu'entre des "lointains".

So to really rigorously compare the relative benefits of the adiabatic vs. gate-based setups in a real experiment, you'd need to "overcome the relativization barrier" and consider the structure of the specific function that you're trying to extremize, which is usually really hard to do. This makes it very difficult to draw general conclusions about the two approach's relative advantages in the real world. It's also why it's so hard to prove unconditional complexity separations theoretically. For all we know, for real-world rather than oracle problems, quantum computers might be able to give exponential speedups - possibly even for NP-complete problems, which would imply that NP $\subset$ BQP, although this is considered very unlikely.

Adiabatic quantum computation cannot do anything faster than circuit-based quantum computation from a computational complexity perspective. This is because there is a mathematical proof that circuit-based quantum computation can efficiently simulate adiabatic quantum computation [see section 5 of this paper].

can it really be faster than $\mathcal{O}(\sqrt{N})$?

The answer is no. This is because if AQC could do it in, say, $\mathcal{O}(\log{N})$, then circuit-based QC could also do it in $\mathcal{O}(\log{N})$ by the algorithm in section 5 of the paper I linked above. This would violate the optimality of $\mathcal{O}(\sqrt{N})$ for unstructured search.