Quelle est la motivation derrière les matrices de densité? Et quelle est la différence entre les matrices de densité des états purs et les matrices de densité des états mixtes?

^{Ceci est une suite auto-répondue de Quelle est la différence entre un état quantique pur et mixte? & Comment trouver une matrice de densité d'un qubit? Vous êtes invités à rédiger des réponses alternatives.}

quantum-state density-matrix

— Sanchayan Dutta
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Motivation

La motivation derrière les matrices de densité est de représenter un manque de connaissances sur l'état d'un système quantique donné, encapsulant dans une seule description de ce système tous les résultats possibles des résultats de mesure, compte tenu de ce que nous savons du système. La représentation de la matrice de densité a l'avantage supplémentaire de se débarrasser de tout problème associé aux phases globales car Le manque de connaissances peut survenir de diverses manières:

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$

Un manque subjectif de connaissances - un arbitre prépare pour vous l'un d'un ensemble d'états avec probabilité , mais vous ne savez pas lequel. Même s'ils savent quel ils ont préparé, puisque vous ne le savez pas, vous devez le décrire en fonction de ce que vous savez de l'ensemble possible d'états et de leurs probabilités correspondantes,. $\{|\phi_i\rangle\}$ $p_i$ $|\phi_j\rangle$ $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$
Un manque objectif de connaissances - si le système quantique fait partie d'un plus grand état intriqué, il est impossible de décrire le système comme un état pur, mais tous les résultats possibles des mesures sont décrits par la matrice de densité obtenue par . $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

Il est intéressant, cependant, que le manque objectif de connaissances puisse devenir subjectif - une deuxième partie peut effectuer des opérations sur le reste de l'état enchevêtré. Ils peuvent connaître les résultats de mesure, etc. mais s'ils ne les transmettent pas, la personne qui détient le système quantique d'origine n'a pas de nouvelles connaissances, et décrit donc son système en utilisant la même matrice de densité qu'auparavant, mais c'est maintenant une description subjective .

Il est également important de noter que le choix d'une façon particulière de représenter la matrice de densité, par exemple,, est un choix très subjectif. Elle peut être motivée par une procédure de préparation particulière, mais mathématiquement, toute description qui donne la même matrice est équivalente. Par exemple, sur un seul qubit, est connu comme l'état mélangé au maximum. En raison de la relation d'exhaustivité d'une base, celle-ci peut être représentée comme un mélange 50:50 ou deux états orthogonaux utilisant n'importe quelle base à 1 qubit. $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ $\rho=\frac12\mathbb{I}$

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

États purs et mixtes

La différence entre la matrice de densité d'un état pur et d'un état mixte est simple - l'état pur est un cas spécial qui peut être écrit sous la forme, alors qu'un état mixte ne peut pas être écrit sous cette forme. Mathématiquement, cela signifie que la matrice de densité d'un état pur a un rang 1, tandis qu'un état mixte a un rang supérieur à 1. La meilleure façon de le calculer est via : implique un état pur, sinon il est mélangé. Pour voir cela, rappelons que , ce qui signifie que toutes les valeurs propres sont égales à 1. De plus, $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ est semi-défini positif, donc toutes les valeurs propres sont réelles et non négatives. Donc, si est de rang 1, les valeurs propres sont , et leur carré de somme est clairement 1. Le carré de somme de tout autre ensemble de nombres non négatifs qui totalisent 1 doit être inférieur à 1. $\rho$ $(1,0,0,\ldots ,0)$

L'état pur correspond à une connaissance parfaite du système, bien que la partie amusante de la mécanique quantique soit que cela n'implique pas une connaissance complète des résultats de mesure possibles. Les états mixtes représentent une connaissance imparfaite, qu'il s'agisse de la connaissance de la préparation ou de la connaissance d'un espace Hilbert plus grand.

Le fait que la description de l'état mixte soit beaucoup plus riche peut être vu sur l'image de la sphère de Bloch sur un seul qubit: les états purs sont tous ceux à la surface de la sphère, tandis que les états mixtes sont tous ceux contenus dans le volume. En termes de comptage de paramètres, au lieu de deux paramètres, vous en avez besoin de trois, celui supplémentaire correspondant à la longueur du vecteur Bloch. oùest un vecteur unitaire à 3 éléments,est un vecteur des matrices de Pauli, etpour un état pur, etpour un état mixte.

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
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(+1) Merci, selon ma compréhension, nous avons l'état

et que vous voulez savoir sur

, et il n'y a aucun moyen de pré - existante de trouver, d' où nous définissons la matrice de densité, Ai - je raison? Avons-nous des définitions différentes de la matrice de densité à des fins différentes? Comme vous l'avez mentionné pour

pour manque de connaissance subjectif et pour objectif

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$ , tout d'abord, je ne comprends pas ce que vous entendez par manque de connaissances?

— tarit goswami

(suite) Deuxièmement, pouvez-vous expliquer avec exemple ce que vous entendez par subjectif et objectif ?

— tarit goswami

L'objectif @taritgoswami signifie que tout le monde est d'accord. Donc, si je crée un état pur et que je l'annonce au monde, tout le monde sait ce qu'est cet état. C'est un fait objectif. Mais, si différentes personnes connaissent différentes choses au sujet d'un état, par exemple, elles savent que c'est | 0> ou | 1>, mais je l'ai mesuré, et je sais que c'est | 1>, mais je ne l'ai dit à personne d'autre, alors tout le monde décrit l'état en fonction de ce qu'ils en savent, de sorte que chaque sujet a une description différente et personnelle de l'état.

— DaftWullie

@taritgoswami S'il y a un

qui est empêtré, il n'y a pas de notion

. Ce n'est pas que nous ne pouvons pas le trouver; ça n'existe pas. La matrice de densité est la meilleure description de A par elle-même qui peut exister parce que A n'existe pas dans un état par lui-même, elle est fusionnée avec celle de B. Nous n'avons pas de définitions différentes de la matrice de densité. Les mêmes propriétés fondamentales tiennent, quoi que vous fassiez, c'est juste qu'il existe différentes philosophies par lesquelles vous pouvez comprendre le sens et la pertinence de la matrice de densité.

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— DaftWullie

La motivation derrière les matrices de densité ^[1] :

En mécanique quantique, l'état d'un système quantique est représenté par un vecteur d'état, noté (prononcé et ket ). Un système quantique avec un vecteur d'état est appelé un état pur . Cependant, il est également possible qu'un système soit dans un ensemble statistique de différents vecteurs d'état. Par exemple, il peut y avoir une probabilité de que le vecteur d'état soit et de chances que le vecteur d'état est . Ce système serait dans un état mixte $|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$ $50\%$ $|\psi_1\rangle$ $50\%$ $|\psi_2\rangle$ . La matrice de densité est particulièrement utile pour les états mixtes, car tout état, pur ou mixte, peut être caractérisé par une matrice de densité unique. Un état mixte est différent d'une superposition quantique. Les probabilités dans un état mixte sont des probabilités classiques (comme dans les probabilités que l'on apprend dans la théorie / statistique des probabilités classiques), contrairement aux probabilités quantiques dans une superposition quantique. En fait, une superposition quantique d'états purs est un autre état pur, par exemple . Dans ce cas, les coefficients $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ ne sont pas des probabilités, mais plutôt des amplitudes de probabilité. $\frac{1}{\sqrt {2}}$

Exemple: polarisation lumineuse

Un exemple d'états purs et mixtes est la polarisation de la lumière. Les photons peuvent avoir deux hélicités , correspondant à deux états quantiques orthogonaux, ( à droite de polarisation circulaire ) et (gauche polarisation circulaire ). Un photon peut également être dans un état de superposition, tel que $|R\rangle$ $|L\rangle$ (polarisation verticale) ou $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ (polarisation horizontale). Plus généralement, il peut être dans n'importe quel état(avec) correspondant aulinéaire,circulaireouelliptiquepolarisation. Si nous réussissons $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ lumière polarisée à travers unpolariseur circulairequi permet soit seulementlumière polarisée, ou seulementlumière polarisée, l'intensité serait réduite de moitié dansdeux cas. Cela peut donner l'impressionque la moitié des photons sont en étatet l'autre dansétat. Mais ce n'est pas correct: les deuxetsontpartie absorbée par un verticalpolariseur linéaire, mais le $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ lumière passera à travers ce polariseur sans aucune absorption. $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$

Cependant, la lumière non polarisée telle que la lumière d'une ampoule à incandescence est différente de tout état comme (linéaire, circulaire ou elliptique polarisation). Contrairement à la lumière polarisée linéairement ou elliptiquement, elle passe à travers le polariseur avec une perte d'intensité de quelle que soit l'orientation du polariseur; et contrairement à la lumière polarisée circulairement, elle ne peut pas être polarisée linéairement avec une plaque à ondes car une polarisation à orientation aléatoire émergera d'une plaque à ondes avec une orientation aléatoire. En effet, la lumière non polarisée ne peut être décrit comme une $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ $50\%$ état de la forme dans un sens précis. Cependant, la lumière non polarisée peut être décrite avec des moyennes d'ensemble, par exemple que chaque photon est soit avec probabilité ou avec de probabilité. Le même comportement se produirait si chaque photon était polarisé verticalement avec probabilité de ou polarisé horizontalement avec probabilité de . $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$ $50\%$ $50\%$ $50\%$

Par conséquent, la lumière non polarisée ne peut être décrite par aucun état pur, mais peut être décrite comme un ensemble statistique d'états purs d'au moins deux façons (l'ensemble de la moitié gauche et de la moitié droite polarisé circulairement, ou l'ensemble de la moitié verticalement et de la moitié horizontalement polarisé linéairement linéairement). ). Ces deux ensembles sont complètement indiscernables expérimentalement, et donc ils sont considérés comme le même état mixte. L'un des avantages de la matrice de densité est qu'il n'y a qu'une seule matrice de densité pour chaque état mixte, alors qu'il existe de nombreux ensembles statistiques d'états purs pour chaque état mixte. Néanmoins, la matrice de densité contient toutes les informations nécessaires pour calculer toute propriété mesurable de l'état mixte.

D'où viennent les États mixtes? Pour répondre à cela, réfléchissez à la manière de générer de la lumière non polarisée. Une façon consiste à utiliser un système en équilibre thermique , un mélange statistique d'un nombre énorme de microstats , chacun avec une certaine probabilité (le facteur Boltzmann ), passant rapidement de l'un à l'autre en raison des fluctuations thermiques . L'aléatoire thermique explique pourquoi une ampoule à incandescence , par exemple, émet de la lumière non polarisée. Une deuxième façon de générer de la lumière non polarisée consiste à introduire une incertitude dans la préparation du système, par exemple en le faisant passer à travers un cristal biréfringentavec une surface rugueuse, de sorte que des parties légèrement différentes du faisceau acquièrent des polarisations différentes. Une troisième façon de générer de la lumière non polarisée utilise une configuration EPR: une désintégration radioactive peut émettre deux photons se déplaçant dans des directions opposées, à l'état quantique . Les deux photons ensemble sont à l'état pur, mais si vous ne regardez que l'un des photons et ignorez l'autre, le photon se comporte exactement comme la lumière non polarisée. $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

Plus généralement, les états mixtes résultent généralement d'un mélange statistique de l'état de départ (comme dans l'équilibre thermique), de l'incertitude dans la procédure de préparation (comme des chemins légèrement différents qu'un photon peut parcourir), ou de regarder un sous-système enchevêtré avec autre chose.

Obtention de la matrice de densité ^[2] :

Comme mentionné précédemment, un système peut être dans un ensemble statistique de différents vecteurs d'état. Disons qu'il y a probabilité que le vecteur d'état soit et probabilité que le vecteur d'état est sont les probabilités classiques correspondantes de chaque état en cours de préparation. $p_1$ $|\psi_1\rangle$ $p_2$ $|\psi_2\rangle$

Dites, maintenant nous voulons trouver la valeur attendue d'un opérateur . Il est donné comme: $\hat{O}$

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Notez que et sont scalaires, et trace de scalaires sont aussi scalaires. Ainsi, nous pouvons écrire l'expression ci-dessus comme: $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Maintenant, en utilisant les propriétés d'invariance cyclique et de linéarité de la trace :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

où est ce que nous appelons la matrice de densité. L'opérateur de densité contient toutes les informations nécessaires pour calculer une valeur d'attente pour l'expérience. $\rho$

Ainsi, fondamentalement, la matrice de densité est $\rho$

dans ce cas.

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$

Vous pouvez évidemment extrapoler cette logique lorsque plus d'un simple vecteur d'état est possible pour un système, avec des probabilités différentes.

Calcul de la matrice de densité:

Prenons un exemple, comme suit.

Dans l'image ci-dessus, l'ampoule à incandescence émet des photons polarisés complètement aléatoires avec une matrice de densité d'état mixte. $1$ $2$

Comme mentionné précédemment, une lumière non polarisée peut être expliquée par une moyenne d'ensemble, c'est-à-dire que chaque photon est soit ou avec probabilité pour chacun. Une autre moyenne d'ensemble possible est: chaque photon est soit $|R\rangle$ $|L\rangle$ $50%$ ou $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ avecprobabilité depour chacun. Il existe également de nombreuses autres possibilités. Essayez d'en trouver vous-même. Le point à noter est que la matrice de densité pour tous ces ensembles possibles sera exactement la même. Et c'est exactement la raison pour laquelle la décomposition de la matrice de densité en états purs n'est pas unique. Allons vérifier: $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$

Cas 1 : et $50\%$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Maintenant, dans la base , peut être notée , et peut être désignée par $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Cas 2 : $50\%$ et $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

Dans la base , $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ peut être notéet $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ peut être noté $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Ainsi, nous pouvons clairement voir que nous obtenons les mêmes matrices de densité dans les cas 1 et 2.

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Cependant, après avoir traversé le polariseur plan vertical (3), les photons restants sont tous polarisés verticalement (4) et ont une matrice de densité à l'état pur:

ρ_{pure} = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

Dans la base { | R ⟩ + | L $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ , $|R\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $|L\rangle$ can be denoted as $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

The single qubit case:

In this case, the density matrix will simply be:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

If you're using the orthonormal basis $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$ ,

the density matrix will simply be:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

This is very similar to 'case 2' above, so I didn't show the calculations. You can ask questions in the comments if this portion seems unclear.

However, you could also use the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis as @DaftWullie did in their answer.

In the general case for a 1-qubit state, the density matrix, in the $\{|0\rangle,|1\rangle\}$ basis would be:

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

Notice that this matrix $\rho$ is idempotent i.e. $\rho = \rho^2$ . This is an important property of the density matrices of a pure state and helps us to distinguish them from density matrices of mixed states.

Obligatory exercises:

1. Show that density matrices of pure states can be diagonalized to the form $\text{diag}(1,0,0,...)$ .
2. Prove that density matrices of pure states are idempotent.

Sources & References:

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2]: https://physics.stackexchange.com/a/158290

Image Credits:

User Kaidor on Wikimedia

— Sanchayan Dutta
source

It's a little bit confusing at first what you're considering as your initial situation. Maybe consider switching |L> and |R> to |H> and |V> (with the polarizer set to D)? While technically it's all the same stuff in some basis, I think its more natural to think about polarizers in the H, V basis.

— Steven Sagona

I think this question misses the most fundamental aspect of the different between pure and mixed, and that is that mixed states do not behave quantum mechanically. You say that states are classical mixtures, but you do not point out how superpositions states behave quantum mechanically (which is nontrivial). For example if you have something in a 1qubit superposition there's also a 50/50 chance of each option. So how is this state different than a classical one. I think showing how we can see "quantum interference" of a superposition state is how to properly illustrate the difference.

— Steven Sagona

^This idea is discussed a bit here: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Steven Sagona

@StevenSagona Thanks for pointing that out. I will update my answer.

— Sanchayan Dutta

Matrices de densité pour les états purs et mixtes

Motivation

États purs et mixtes

La motivation derrière les matrices de densité [1] :

Exemple: polarisation lumineuse

Obtention de la matrice de densité [2] :

Calcul de la matrice de densité:

The single qubit case:

Obligatory exercises:

La motivation derrière les matrices de densité ^[1] :

Obtention de la matrice de densité ^[2] :