Construction de la porte Quantum XNOR

J'ai essayé de demander ici d' abord, car une question similaire avait été posée sur ce site. Semble cependant plus pertinent pour ce site.

Je crois comprendre qu'une porte XOR quantique est la porte CNOT. La porte quantique XNOR est-elle une porte CCNOT?

Toute fonction classique à un bit où est une entrée à bits et est une sortie à bits peut être écrit comme un calcul réversible, (Notez que toute fonction de sorties peut être écrite comme juste séparées de 1 bit.)$f:x\mapsto y$$x\in\{0,1\}^n$$n$$y\in\{0,1\}$$n$

$$f_r:(x,y)\mapsto (x,y\oplus f(x))$$ $m$$m$

Une porte quantique implémentant ceci est fondamentalement juste la porte quantique correspondant à l'évaluation de la fonction réversible. Si vous écrivez simplement la table de vérité de la fonction, chaque ligne correspond à une ligne de la matrice unitaire et la sortie vous indique quelle entrée de colonne contient un 1 (toutes les autres entrées contiennent 0).

Dans le cas de XNOR, nous avons la table de vérité standard et la table de vérité de fonction réversible Ainsi, la matrice unitaire est

$$\begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} (x,y) & (x,y\oplus f(x)) \\ \hline 000 & 001 \\ 001 & 000 \\ 010 & 010 \\ 011 & 011 \\ 100 & 100 \\ 101 & 101 \\ 110 & 111 \\ 111 & 110 \end{array}$$ $$U=\left(\begin{array}{cccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}\right).$$ Cela peut facilement être décomposé en termes de deux portes non contrôlées et d'un ou deux flip.

La méthode que je viens de décrire vous donne un moyen très sûr de faire la construction qui fonctionne pour tout , mais elle ne reconstruit pas parfaitement la correspondance entre XOR et non-contrôlé. Pour cela, nous devons en supposer un peu plus sur les propriétés de la fonction .$f(x)$$f(x)$

Supposons que nous pouvons décomposer l'entrée en telle que et telle sorte que pour toutes les valeurs de , le les valeurs de sont distinctes pour chaque . Dans ce cas, nous pouvons définir l'évaluation de la fonction réversible commeCela signifie que nous utilisons 1 bits de moins que la construction précédente, mais à partir de là, la technique peut être répétée.$x$$a,b$$a\in\{0,1\}^{n-1}$$b\in \{0,1\}$$a$$f(a,b)$$b$

$$f:(a,b)\mapsto(a,f(a,b)).$$

Revenons donc à la table de vérité pour XNOR. Nous pouvons voir que, par exemple, lorsque nous fixons , les deux sorties sont , donc distinctes. De même pour fixer . Ainsi, nous pouvons procéder à la construction de la fonction réversible et cela nous donne un unitaire

$$\begin{array}{c|c} ab & f(a,b) \\ \hline 00 & 1 \\ 01 & 0 \\ 10 & 0 \\ 11 & 1 \end{array}$$ $a=0$$1,0$$a=1$ $$\begin{array}{c|c} ab & af(a,b) \\ \hline 00 & 01 \\ 01 & 00 \\ 10 & 10 \\ 11 & 11 \end{array}$$ cNOT⋅(1⊗X $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $\text{cNOT}\cdot(\mathbb{1}\otimes X)$

Le quantum XNOR n'est pas un CCNOT. CCNOT prendrait 3 bits en entrée, tandis que XOR, XNOR et CNOT n'accepteraient que 2 bits ou qubits en entrée.

La raison pour laquelle nous disons que le XOR peut être considéré comme un CNOT est expliquée ici , et le même raisonnement peut être utilisé pour construire le (2 qubit) XNOR.