Comment interpréter un circuit quantique comme une matrice?

Si un circuit prend plus d'un qubit comme entrée et a des portes quantiques qui prennent différents nombres de qubits comme entrée, comment interpréterions-nous ce circuit comme une matrice?

Voici un exemple de jouet:

Circuit spécifique

La première porte est une porte Hadamard qui est normalement représentée par

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}$$

Maintenant, puisque nous ne l'appliquons qu'au premier qubit, nous utilisons un produit kronecker dessus (cela m'a tellement dérouté au début - je ne savais pas comment faire évoluer les portes; comme vous pouvez l'imaginer, c'est plutôt important ), nous faisons donc , où I est la matrice d'identité 2x2. Cela produit$H\otimes I$$I$

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

Ensuite, nous avons une porte CNOT. Ceci est normalement représenté par

$$\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}$$

C'est la bonne taille pour deux qubits, nous n'avons donc pas besoin de faire évoluer les produits en utilisant kronecker. Nous avons alors une autre porte de hadamard, dont l'échelle est la même que la première. Pour trouver la matrice globale du circuit, alors, nous les multiplions tous ensemble:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

et obtenir

$$\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1&-1\\1&1&-1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&1&1\end{bmatrix}$$

(si python se multipliait correctement =) Nous multiplierions alors ceci par notre état de qubit d'origine et obtiendrions notre résultat.

Généralisation

Donc, fondamentalement, vous passez par chaque porte une par une, prenez la représentation de base et mettez-les à l'échelle de manière appropriée en utilisant des produits kronecker avec des matrices d'identité. Ensuite, vous multipliez toutes les matrices ensemble dans l'ordre où elles sont appliquées. Assurez-vous de faire cela de telle sorte que si vous écrivez la multiplication, la toute première porte se trouve à l'extrême droite; comme le souligne arriopolis, il s'agit d'une erreur courante. Les matrices ne sont pas commutatives! Si vous ne connaissez pas la représentation de base d'une matrice, consultez d'abord l'article de wikipedia sur les portes quantiques qui en a beaucoup.