Pourquoi les portes quantiques sont-elles unitaires et non unitaires spéciales?

Étant donné que les phases globales des états ne peuvent pas être physiquement discernées, pourquoi les circuits quantiques sont-ils formulés en termes d'unités et non d'unités spéciales? Une réponse que j'ai obtenue est que c'est juste pour des raisons de commodité, mais je ne suis toujours pas sûr.

Une question connexe est la suivante: y a-t-il des différences dans l'implémentation physique d'un (matrice mathématique) et , disons en termes de portes élémentaires? Supposons qu'il n'y en ait pas (ce que je comprends). Alors l'implémentation physique de et devrait être la même (il suffit d'ajouter des contrôles aux portes élémentaires). Mais alors j'entre dans la contradiction que et de ces deux unitaires peuvent ne pas être équivalents jusqu'à la phase (en tant que matrices mathématiques), donc il semble plausible qu'ils correspondent à différentes implémentations physiques .$U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

Qu'est-ce que j'ai fait de mal dans mon raisonnement ici, car cela suggère maintenant que et doivent être implémentés différemment même s'ils sont équivalents jusqu'à la phase?$U$$V$

Une autre question connexe (en fait à l'origine de ma confusion, je serais très reconnaissant pour une réponse à celle-ci): il semble que l'on puisse utiliser un circuit quantique pour estimer à la fois le module et la phase du chevauchement complexe (voir https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Mais cela n'implique-t-il pas encore que et sont mesurablement différents?$\langle\psi|U|\psi\rangle$$U$$e^{i\alpha}U$

Même si vous vous limitez uniquement aux opérations unitaires spéciales, les États accumuleront toujours la phase globale. Par exemple, est unitaire spécial mais Z ⋅ | 0 ⟩ = i | 0 ⟩ ≠ | 0 ⟩ .$Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Si les États vont de toute façon accumuler une phase mondiale inobservable , quel avantage retirons -nous de nous limiter à des opérations unitaires spéciales?

y a-t-il des différences dans la mise en œuvre physique d'un unitaire (matrice mathématique) et V : = e i α U , par exemple en termes de portes élémentaires?$U$$V :=e^{i\alpha}U$

Tant que vous ne faites rien qui puisse rendre les phases globales pertinentes, elles peuvent avoir la même implémentation. Mais si vous voulez faire quelque chose comme, euh-

ajouter des contrôles aux portes élémentaires

Ouais, comme ça. Si vous faites des choses comme ça, vous ne pouvez pas ignorer les phases globales. Les contrôles transforment les phases globales en phases relatives. Si vous voulez ignorer complètement la phase globale, vous ne pouvez pas avoir de modificateur d'opération "ajouter un contrôle" dans la boîte noire.

Le fait que les portes quantiques sont unitaires, est enraciné dans le fait que l'évolution des systèmes quantiques (fermés) est par l'équation de Schrödiner. Pour un intervalle de temps dans lequel nous essayons de réaliser une transformation unitaire particulière à un taux constant, nous utilisons l'équation de Schrödinger indépendante du temps:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

$H$$H$

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ $U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$. Ainsi, à partir d'une matrice avec des valeurs propres réelles, nous obtenons une matrice dont les valeurs propres sont des nombres complexes avec une norme unitaire.

$1$$1$$H$$H$la somme de ses valeurs propres est égale à zéro dépend de la façon dont vous avez décidé de fixer ce qu'est votre point d'énergie zéro - ce qui est en fait un choix subjectif du cadre de référence. (En particulier, si vous décidez d'adopter la convention selon laquelle tous vos niveaux d'énergie sont non négatifs, cela implique qu'aucun système intéressant n'aura jamais la propriété des valeurs propres de l'énergie totalisant zéro.)

En bref, les portes sont unitaires plutôt que unitaires spéciales, parce que le déterminant d'une porte ne correspond pas à des propriétés physiquement significatives - dans le sens explicite que la porte provient de la physique, et les conditions qui correspondent au déterminant de la porte étant 1 est une condition de son propre référentiel et non de la dynamique physique.

Lors de l'écriture de portes pour, par exemple, un schéma de circuit quantique, vous pouvez toujours les écrire en utilisant la convention d'avoir un déterminant (du groupe unitaire spécial), mais ce n'est qu'une convention. Cela ne fait aucune différence physique pour le circuit que vous implémentez. Comme dit ailleurs , si ce que vous produisez naturellement correspond directement à l'unité spéciale, c'est vraiment un choix de convention, et où vous définissez votre énergie 0.

$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$