Quelles sont les applications de l'algorithme de recherche de Grover?

On parle généralement de l'algorithme de recherche de Grover en termes de recherche d'une entrée marquée dans une base de données non triée. Il s'agit d'un formalisme naturel qui permet de l'appliquer directement à la recherche de solutions aux problèmes NP (où une bonne solution est facilement reconnaissable).

J'étais intéressé à découvrir d'autres applications de la recherche de Grover pour trouver le minimum, la moyenne et la médiane d'un ensemble de nombres. Cela me laisse me demander s'il existe d'autres applications moins évidentes de la recherche de Grover (ou des applications de ses généralisations telles que l'amplification d'amplitude) qui sont déjà connues? Tout bref aperçu sur la façon dont cela est fait serait apprécié.

algorithm grovers-algorithm

— DaftWullie
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Outre celles que vous avez mentionnées, une autre application de l'algorithme de Grover (modifié) dont je suis au courant consiste à résoudre le problème de collision en théorie de la complexité, en informatique quantique et en mathématiques computationnelles . Il est également appelé l' algorithme BHT .

Présentation :

Le problème de collision se réfère le plus souvent à la version 2-à-1 qui a été décrite par Scott Aaronson dans sa thèse de doctorat. Étant donné que est pair et une fonction nous savons à l'avance que vaut 1 pour 1 ou 2 pour 1. Nous ne sommes autorisés à faire des requêtes sur la valeur de pour tout $n$ $f:\{1,...,n\}\to\{1,...,n\}$ $f$ $f(i)$ . Le problème demande alors combien de requêtes nous devons faire pour déterminer avec certitude si est 1-to-1 ou 2-to-1. $i\in\{1,2,...,n\}$ $f$

La résolution de la version 2-à-1 nécessite de manière déterministe requêtes, et en général la distinction des fonctions r-to-1 des fonctions 1-à-1 nécessite requêtes. $n/2+1$ $n/r+1$

Solution classique déterministe :

Il s'agit d'une application simple du principe du pigeonhole: si une fonction est r-to-1, alors après requêtes, nous sommes assurés d'avoir trouvé une collision. Si une fonction est 1 à 1, aucune collision n'existe. Si nous n'avons pas de chance, les requêtes pourraient renvoyer des réponses distinctes. Donc, requêtes sont nécessaires. $n/r+1$ $n/r$ $n/r+1$

Solution classique randomisée :

Si nous autorisons l'aléatoire, le problème est plus facile. Par le paradoxe de l'anniversaire, si nous choisissons des requêtes (distinctes) au hasard, alors avec une forte probabilité, nous trouvons une collision dans n'importe quelle fonction 2-à-1 fixe après requêtes. $\Theta(\sqrt{n})$

Solution Quantum BHT :

Intuitivement, l'algorithme combine l'accélération de la racine carrée du paradoxe d'anniversaire en utilisant l'aléatoire (classique) avec l'accélération de la racine carrée de l'algorithme (quantique) de Grover.

Premièrement, entrées à sont choisis au hasard et est interrogé à chacun d'eux. S'il y a collision entre ces entrées, nous renvoyons la paire d'entrées en collision. Sinon, toutes ces entrées correspondent à des valeurs distinctes par . Ensuite, l'algorithme de Grover est utilisé pour trouver une nouvelle entrée à qui entre en collision. Comme il n'y a que de ces entrées à , l'algorithme de Grover peut trouver un (si elle existe) en faisant seulement $n^{1/3}$ $f$ $f$ $f$ $f$ $n^{2/3}$ $f$ requêtes à. $\mathcal{O}(\sqrt{n^{2/3}})=\mathcal{O}(n^{1/3})$ $f$

Sources:

— Sanchayan Dutta
source

Quelques commentaires sur la solution de BHT (je ne trouve pas l'article wikipedia très instructif): Tout d' abord, sélectionnez

entrées à tester

au hasard. Supposons qu'ils n'entrent pas en collision. Triez ces valeurs

selon

. Maintenant, si

est le 2-à-1, il y a

valeurs

pas déjà testés qui entrent en collision avec celles testées. Donc, définissez une fonction qui vérifie "pas encore testé et entre en collision". Ceci définit les entrées marquées. La collision est facile à tester avec la liste triée de valeurs

n^{1 / 3}

$n^{1/3}$

f

$f$

x

$x$

f (x)

$f(x)$

f (x)

$f(x)$

n^{1 / 3}

$n^{1/3}$

x

$x$

. Connaissant le nombre exact d'entrées marquées (si 2 contre 1), Grover's (presque) garantit une solution.

f (x)

$f(x)$

— DaftWullie

@DaftWullie Oui, cela a du sens. L'algorithme de Grover ne garantit pas une solution mais a une forte probabilité de fournir la bonne solution. Mais n'est-ce pas tout à fait évident d'après la description de Wikipédia elle-même? Je ne suis pas sûr de comprendre le point ou l'objection que vous faites. Suis-je en train de manquer quelque chose?

— Sanchayan Dutta

Tout ce que je peux dire, c'est que ce n'était pas évident pour moi . En première lecture, j'ai compris (à tort) que pour Grover, au lieu de préparer une superposition de tous les états possibles, il ne préparait qu'une superposition sur ceux qui n'avaient pas encore été testés. Mais cela semblait crucial pour la façon dont l'accélération a été expliquée. De plus, j'étais d'abord préoccupé par la façon dont les collisions étaient vérifiées: quelles paires étaient vérifiées pour les collisions et avec quelle efficacité la collision pouvait-elle être calculée?

— DaftWullie

@DaftWullie Ah, d'accord. Je comprends ton point de vue. Wikipedia n'entre pas dans les détails de l'algorithme. Vous pouvez toujours vous référer au document original ( arxiv.org/abs/quant-ph/9705002 ) pour les détails (ce que je suppose que vous avez déjà fait). Plus tard, je vais essayer de développer cette réponse pour inclure tous les détails. Je lis toujours le journal.

— Sanchayan Dutta

À moins que les qubits et les portes quantiques ne se révèlent incroyablement moins chers que les bits et les portes classiques, toute discussion sur le BHT devrait inclure la mise en garde que les coûts dépassent la recherche de collision classique de pointe avec la machine van Oorschot-Wiener. Voir cr.yp.to/papers.html#collisioncost ou blog.cr.yp.to/20171017-collisions.html pour plus de détails. (Ce dernier est une réponse à une prétendue amélioration du BHT qui prétend être plus rentable que la recherche de collision classique.)

— Squeamish Ossifrage

L'algorithme de Grover est également largement utilisé en cryptographie quantique. Il peut être utilisé pour résoudre des problèmes tels que le problème du logarithme transcendantal, le problème de recherche de racine polynomiale, etc.

— da281
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Souhaitez-vous élaborer un peu? Quels sont ces problèmes? Où puis-je en savoir plus à leur sujet?

— DaftWullie

ieeexplore.ieee.org/document/7016940 Ceci est un article ieee qui cherche à développer un algorithme quantique pour résoudre le problème de recherche de racine polynomiale. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet ici

— da281

L'algorithme de Grover peut être utilisé pour résoudre tout problème d'optimisation numérique plus rapidement que la recherche par force brute, car tout problème d'optimisation peut être formulé comme un problème de recherche (où vous recherchez une sortie de fonction supérieure / inférieure à certaines fixes) $M$ dans chaque exécution, et vous répétez pour un nombre logarithmique d'exécutions en utilisant la recherche binaire à la maison dans l'optimal $M$ ): https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/040605072?journalCode=sjope8 .

En fait, l'algorithme de Grover est l'algorithme quantique le plus connu pour de nombreux problèmes d'optimisation difficiles (tels que les problèmes NP-complets) qui n'ont pas beaucoup de structure qui se prête à un algorithme classique plus intelligent que la recherche par force brute: https: // link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-540-78773-0_67 .

— tparker
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