Signification de l'église de l'espace supérieur Hilbert

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Le terme « Église de l'espace Hilbert supérieur » est fréquemment utilisé dans les informations quantiques lors de l'analyse des canaux quantiques et des états quantiques.

Que signifie ce terme (ou, alternativement, que signifie le terme "Aller à l'église de l'espace Hilbert supérieur")?

— user3483902
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Pouvez-vous poster une référence pour un certain contexte? Où avez-vous lu ce terme. Merci.

— Andrew O

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L'église de l'espace Hilbert plus grand (ou plus haut ou plus grand) est juste une astuce que certaines personnes aiment (moi y compris) pour réécrire certaines opérations.

Les opérations les plus générales que vous pouvez écrire pour un système sont décrites par des cartes complètement positives, tandis que nous aimons décrire des choses avec des unités, ce que vous pouvez toujours faire en passant de l'espace Hilbert d'origine à un espace plus grand (c'est-à-dire en ajoutant plus de qubits). De même, pour les mesures, vous pouvez transformer des mesures générales en mesures projectives en augmentant la taille de l'espace Hilbert. En outre, les états mixtes peuvent être décrits comme des états purs d'un système plus vaste.

Exemple

$1-p$ $p$ $X$

| ψ ⟩ ⟨ ψ | \mapsto (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X

$|\psi\rangle\langle\psi|\mapsto (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X$

\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩

$\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle$

| ψ ⟩ (\sqrt{1 - p} | 0 ⟩ + \sqrt{p} | 1 ⟩) \mapsto | Ψ ⟩ = \sqrt{1 - p} | ψ ⟩ | 0 ⟩ + \sqrt{p} (X | ψ ⟩) | 1 ⟩ .

$|\psi\rangle(\sqrt{1-p}|0\rangle+\sqrt{p}|1\rangle)\mapsto|\Psi\rangle=\sqrt{1-p}|\psi\rangle|0\rangle+\sqrt{p}\left(X|\psi\rangle\right)|1\rangle.$ To get back the action of the system on just the original qubit, you trace out the new qubit:

ρ = {T r}_{2} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |) = (1 - p) | ψ ⟩ ⟨ ψ | + p X | ψ ⟩ ⟨ ψ | X .

$\rho={\rm Tr}_2\left(|\Psi\rangle\langle\Psi|\right)= (1-p)|\psi\rangle\langle\psi|+pX|\psi\rangle\langle\psi|X.$ In other words, you just ignore the existence of the new qubit after you’ve implemented the unitary! Note that as well as demonstrating the church of the larger Hilbert space for operations, this also demonstrates it for states - the mixed state

ρ

$\rho$ can be made into the pure state

| Ψ ⟩

$|\Psi\rangle$ by increasing the size of the Hilbert space.

— DaftWullie
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"Church of the higher hilbert space" is a term coined by John Smolin. According to quantiki it is:

for the dilation constructions of channels and states, which [...] provide a neat characterization of the set of permissible quantum operations

and to quote wikipedia, it:

describe[s] the habit of regarding every mixed state of a quantum system as a pure entangled state of a larger system, and every irreversible evolution as a reversible (unitary) evolution of a larger system.